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Descripción
Mapa Mental por FRAY LOPEZ, actualizado hace más de 1 año
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Creado por FRAY LOPEZ
hace alrededor de 5 años
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Sistema de ecuaciones lineales
- Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
las incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı, ni en el denominador. Por
ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas
- Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan una recta en el plano. Si la
ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de
ambas representaciones puede observarse en la figura: Figura 7.1: Representacion grafica de la
recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
- El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones, o geometricamente representan la misma recta o plano.
- Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan una recta en el plano. Si la
ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de
ambas representaciones puede observarse en la figura: Figura 7.1: Representacion grafica de la
recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
- expresion matricial de un sistema
- Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
- La matriz A =
- la matriz X= se llama matriz de incognitas:
- matriz B, se llama, matriz de terminos independientes:
- matriz B, se llama, matriz de terminos independientes:
- la matriz X= se llama matriz de incognitas:
- La matriz A =
- Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
- Tipos de sistemas:
- Compatibles
- Determinados: solución única
- Indeterminados : infinitas soluciones
- Indeterminados : infinitas soluciones
- Determinados: solución única
- Incompatibles
- No tienen solucion
- No tienen solucion
- Sistemas con dos Incognitas: son los sistemas
mas sencillos, con dos incognitas y dos
ecuaciones, existen varios metodos para resolverlos
- Reducción
Igualación
Sustitución
- Sistemas dos incognitas y 3 ecuaciones
- Podemos anadir a los clasicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incognitas cuantas ecuaciones queramos
para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o mas ecuaciones
- Podemos anadir a los clasicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incognitas cuantas ecuaciones queramos
para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o mas ecuaciones
- Reducción: Resolver e interpretar el sistema
- de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solucion
del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es
compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,
precisamente el (-1,-1)=
- de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solucion
del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es
compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,
precisamente el (-1,-1)=
- Igualación: Resolver e interpretar el sistema
- Por igualación:
- cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucion, es
un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas.
Geometricamente:
- cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucion, es
un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas.
Geometricamente:
- Por igualación:
- sustitución :
- Por sustitucion, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y =
−9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como
0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el
sistema tiene infinitas soluciones, es compatible
indeterminado, o que las rectas son la misma.
- Lo expresaremos ası. Como x = −2y − 3, dando valores
a y se obtiene x. Ası si le damos a y el valor arbitrario
de λ (lambda), entonces expresaremos la solucion
como:
- Lo expresaremos ası. Como x = −2y − 3, dando valores
a y se obtiene x. Ası si le damos a y el valor arbitrario
de λ (lambda), entonces expresaremos la solucion
como:
- Por sustitucion, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y =
−9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como
0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el
sistema tiene infinitas soluciones, es compatible
indeterminado, o que las rectas son la misma.
- Sistemas dos incognitas y 3 ecuaciones
- Reducción
Igualación
Sustitución
- Compatibles
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