Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

1. Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas

   • • Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan una recta en el plano. Si la ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura: Figura 7.1: Representacion grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
     • El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geometricamente representan la misma recta o plano.

2. expresion matricial de un sistema

   • Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
     • • La matriz A =
         • • la matriz X= se llama matriz de incognitas:
             • • matriz B, se llama, matriz de terminos independientes:

3. Tipos de sistemas:

   • Compatibles
     • Determinados: solución única
       • Indeterminados : infinitas soluciones
   • Incompatibles
     • No tienen solucion
   • Sistemas con dos Incognitas: son los sistemas mas sencillos, con dos incognitas y dos ecuaciones, existen varios metodos para resolverlos
     • Reducción Igualación Sustitución
       • Sistemas dos incognitas y 3 ecuaciones
         • Podemos anadir a los clasicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incognitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o mas ecuaciones
       • Reducción: Resolver e interpretar el sistema
         • • • de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solucion del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1)=
       • Igualación: Resolver e interpretar el sistema
         • • Por igualación:
             • • cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucion, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geometricamente:
       • sustitución :
         • • Por sustitucion, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.
             • • Lo expresaremos ası. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x. Ası si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solucion como:

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