Planos en R3

Planos en R3

1. ¿Que es?

   • En R3 es un plano paralelo al eje z , y en R2 es una recta: ... Para definir en forma vectorial una recta en R3 , es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.

2. Deducción de la ecuación general del plano

   • Dada una dirección en R 3 , existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única. Nos proponemos hallar la ecuación del plano π que pasa por P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) y es perpendicular al vector ⃗ n = ( a , b , c ) . El vector ⃗ n se denomina vector normal del plano.
     • • ¿Qué condición debe cumplir un punto P ( x , y , z ) para estar en el plano π ? Si armamos el vector −−−→ P 0 P , éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano:
         • P ( x , y , z ) ∈ π ⇔ −−−→ P 0 P ⊥ ⃗ n ⇔ −−→ P 0 P . ⃗ n = 0 ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) . ( a , b , c ) = 0 a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z 0 ) = 0 ecuacion de un plano en r3
           • a x + b y + c z + d = 0 E c u a c i ó n g e n e r a l o i m p l í c i t a d e l p l a n o

3. Ecuación segmentaria del plano

   • Dada la ecuación general de un plano: π : a x + b y + c z + d = 0 Si a , b , c , d son distintos de cero, es posible obtener otra ecuación del plano como sigue:
     • a x + b y + c z = – d a – d x + b – d y + c – d z = 1 x ( – d a ) + y ( – d b ) + z ( – d c ) = 1 Si llamamos p = – d a , q = – d b , r = – d c Resulta:
       • x p + y q + z r = 1 E c u a c i ó n s e g m e n t a r i a d e l p l a n o
         • Veamos qué indican p , q y r :
           • ¿Cuál es la intersección del plano con el eje x?ecuacion segmentaria del plano ¿Cuál es la intersección con el eje y? ( 0 , q , 0 ) ¿Y con el eje z? ( 0 , 0 , r ) Podemos observar que p, q y r indican las intersecciones con los ejes.

4. Ecuación vectorial paramétrica del plano

   • Dados dos vectores ⃗ u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) y → v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) no paralelos y un punto P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , nos proponemos hallar la ecuación del plano π que pasa por P 0 y es paralelo a → u y → v .
     • • ¿Cómo podemos obtener un vector perpendicular al plano conociendo dos vectores paralelos a dicho plano? ⃗ n = ⃗ u × ⃗ v
         • Teniendo ⃗ n y el punto P 0 , podemos hallar la ecuación implícita o general del plano π como habíamos visto previamente. Obtendremos a continuación otro tipo de ecuación del plano, cuya deducción se basa en el concepto de combinación lineal de vectores, tal cómo vimos en el ejemplo. Si P ( x , y , z ) es un punto cualquiera del plano π , los vectores −−→ P 0 P , ⃗ u y ⃗ v son coplanares
           • Entonces ∃ α , β ∈ R | −−→ P 0 P = α ⃗ u + β ⃗ v Esto significa que el vector −−→ P 0 P puede expresarse como combinación lineal de ⃗ u y ⃗ v , como se muestra en la figura:
             • • ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) = α . ( u 1 , u 2 , u 3 ) + β ( v 1 , v 2 , v 3 ) Por lo tanto: ( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + α ( u 1 , u 2 , u 3 ) + β ( v 1 , v 2 , v 3 ) , c o n α , β ∈ R O en notación vectorial:
                 • ( x , y , z ) = −−→ O P 0 + α . ⃗ u + β . ⃗ v E c u a c i ó n v e c t o r i a l p a r a m é t r i c a d e l p l a n o

5. De la ecuación general a la ecuación vectorial paramétrica

   • Dada la ecuación general de un plano, ¿cómo puede obtenerse una ecuación vectorial paramétrica de dicho plano? Consideremos el siguiente ejemplo: ω : 2 x – y + 3 z + 9 = 0 Podemos despejar cualquiera de las variables, por ejemplo y: y = 2 x + 3 z + 9
     • Entonces: ω : ( x , y , z ) = ( x , 2 x + 3 z + 9 , z ) Reescribimos como suma de tres vectores, de forma tal que uno de ellos tenga los términos con x , otro los términos con z y otro los términos independientes: ( x , y , z ) = ( x , 2 x , 0 ) + ( 0 , 3 z , z ) + ( 0 , 9 , 0 ) ( x , y , z ) = x ( 1 , 2 , 0 ) + z ( 0 , 3 , 1 ) + ( 0 , 9 , 0 ) , c o n x , z ∈ R Si llamamos x = α , z = β , resulta: ω : ( x , y , z ) = ( 0 , 9 , 0 ) + α ( 1 , 2 , 0 ) + β ( 0 , 3 , 1 ) , c o n α , β ∈ R Obtuvimos así una ecuación vectorial paramétrica del plano ω .
       • El lector puede comprobar que: i) los vectores ⃗ u = (1,2,0) y ⃗ v = (0,3,1) son perpendiculares a ⃗ n = (2,-1,3), o sea que son paralelos al plano; ii) P0(0,9,0) ∈ ω

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