Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Figuras espaciais são aquelas que apresentam três dimensões: comprimento, largura e altura. Nessa área, estuda-se o conceito de volume, sendo que os sólidos geométricos são chamados de axiomas.

2. Os conceitos básicos para entender as figuras geométricas são: ponto, reta, linha, vértice e plano.

   • Ponto: elemento que não possui nenhum tipo de dimensão e nenhuma parte. Os planos, retas e sólidos geométricos são formados por um conjunto de pontos.
   • Reta: surge a partir do alinhamento infinito de pontos, tendo apenas comprimento.
   • Linha: é muito confundida com a reta, sendo diferente desta, já que as linhas podem apresentar ou não curvas, como em uma circunferência.
   • Vértice: encontro de segmentos de reta diferentes, formando os lados das formas.
   • Plano: regiões bidimensionais infinitas.

3. CILINDRO: possui duas bases circulares congruentes, tendo seus lados com formato circular.

   • ELEMENTOS: Bases opostas, paralelas e congruentes, sendo uma inferior e a outra superior; o raio vai do centro até a linha de base; a geratriz vai de uma extremidade à outra das bases e a diretriz indica a direção dos seguimentos de reta.
   • CLASSIFICAÇÃO: é feita de acordo com seu formato, podendo ser reto ou oblíquo.
     • Reto: a geratriz é perpendicular às bases.
     • Oblíquo: geratriz não é perpendicular às bases.
     • Equilátero: diâmetro da base é igual ao da geratriz.
     • Cilindro de revolução: quando o cilindro é obtido pela rotação de um plano retangular.
   • Área da base: Ab = π . r²
   • Área Lateral: Al = 2 . π . r . h
   • Área total: At = 2 . Ab + Al ou At = 2 . (π . r²) + (2 . π . r . h)

4. CUBO: hexaedro retangular formado com seis partes perpendiculares e de mesma medida.

   • Os vértices possuem cada um três arestas e os ângulos são congruentes.
   • ELEMENTOS: apresenta 12 arestas, 6 faces quadrangulares, 4 diagonais, 8 vértices e 24 ângulos retos.
   • Área da base: Ab = a², cálculo da área quadrada.
   • Área lateral: Al = 4a², cálculo da medida das faces.
   • Área total: At = 6a², cálculo das medidas de toda a superfície.
   • V = a³, como o comprimento, a largura e a altura são iguais,basta elevar a medida de um das arestas à potência de 3.
   • DIAGONAL DA BASE: medida da diagonal de um quadrado; db² = a² + a² ⇒ db² = 2a² ⇒ db = a√2
     • DIAGONAL: segmento de reta traçado de um vértice a outro; dc² = a² + d²b ⇒ dc² = a² + 2a² ⇒ dc² = 3a² ⇒ dc = a√3.

5. CONE: figura espacial com formato de pirâmide.

   • ELEMENTOS: raio do círculo que forma a base, geratriz que vai de um vértice a outro, vértice oposto à base circular, Eixo de rotação (altura) que vai da base até o vértice superior.
   • CLASSIFICAÇÃO
     • Cone reto: base circular e uma reta ligada ao vértice superior.
     • Geratrizes: retas que se conectam ao vértice superior através de pontos na circunferência. g² = h² + r².
     • CONE OBLÍQUO: reta que liga a base ao vértice é perpendicular à base.
     • CONE EQUILÁTERO: a seção meridiana é um triângulo equilátero. h = R√3.
   • ÁREA LATERAL: Al = π . r . g
     • ÁREA DA BASE: Ab = π . r²
       • ÁREA TOTAL: At = π . r . (g + r)
         • VOLUME: V = 1⁄3 . π . r² . h

6. ESFERA: conjunto de pontos que se localizam a uma mesma distância do centro, medida conhecida como raio.

   • ELEMENTOS
     • Superfície esférica: formada pelos pontos que estão distantes do centro (raio).
     • Cunha esférica: a região localizada entre ois dois semicírculos que estão ligados ao eixo de rotação
     • Fuso esférico: parte da superfície obtida com o giro de uma semicircunferência com ângulo entre 0 e 2π
     • Calota Esférica: parte cortada por um plano.
     • Polos: encontro da superfície esférica com o eixo de rotação.
       • Paralelo: circunferência formada por planos perpendiculares ao eixo de rotação.
         • Meridiano: circunferência formada por interseção de um plano com o eixo de rotação.
   • ÁREA: A = 4 . π . r²
     • VOLUME: V = 4⁄3 . π . r³

7. PARALELEPÍPEDO: possui faces opostas paralelas e ângulos retos. Possui três pares de faces paralelas.

   • ELEMENTOS: possui 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
   • CLASSIFICAÇÃO
     • Retos: as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases.
       • Oblíquos: faces laterais não formam ângulos retos.
         • Isósceles: todas as faces são quadradas.
   • Planificação: as faces deste elemento são formadas por outras figuras geométricas
   • ÁREA DA BASE: Ab = b . h
     • ÁREA LATERAL: Al = 2(ac + bc)
       • ÁREA TOTAL: At = 2(ab + ac + bc)
         • VOLUME: V = a . b . c

8. PIRÂMIDE: possui base poligonal e os lados formados por polígonos triangulares unidos em um vértice.

   • ELEMENTOS
     • Arestas laterais: segmentos de retas que vão do vértice da base até o vértice comum.
       • Faces laterais: são as regiões triangulares definidas pelas arestas laterais;
         • Arestas da base: lados que formam a região poligonal.
           • Altura: segmento de reta que liga o vértice comum até a base;
             • Apótema: altura da face da pirâmide.
   • CLASSIFICAÇÃO
     • As pirâmides são retas quando a altura é perpendicular a base, quando não são retas são oblíquas, regulares quando a base é formada por um polígono regular e irregulares quando a base não é composta por um polígono regular.
   • Classificação (quanto ao número de lados)
     • Triangular quando a base é um triângulo, quadrangular quando a base é um paralelogramo, pentagonal quando a base é um pentágono, hexagonal quando sua base é um hexágono e octogonal quando a base é um octógono.
   • ÁREA LATERAL E ÁREA DA BASE: A = (b . h)/2
     • ÁREA TOTAL: AT = AB + AL
       • VOLUME: V = 1⁄3 . AB . h