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Proposiciones

Diana Rengifo Español

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Proposiciones

Las proposiciones son expresiones de lenguaje a las que se le puede asignar valor de verdad,es decir, puede calificarse como verdaderas o falsa. Se diferencia de las preguntas, de las ordenes y de las exclamasiones
- Ejemplo:
  - -Todos los gatos son agresivos. - Algunos carros son azules -Existe un pais que no es capital
- Proposiciones simples
  - Una proposicion simple es aquella que se forma sin utilizar terminos de enlace
    - Una proposicion simple se determina calificandola como verdad o falsa.
      - Ejemplo
        La luna es un planeta
        Es una proposicion falsa
        5 es un numero primo
        Es una proposicion verdadera
        Las proposiciones simples se representan mediante letras minusculas
        Ejemplo: p-q
        p: Bogota es la capital de colombia
        q: el rombo es un cuadrilatero
- Proposiciones compuestas
  - Son aquellas que estan costituidas por dos o mas proposiciones simples
    - Unidas por terminos de enlace llamados conectores o conectivos logicos
      - Los conectivos logicos son terminos de enlace entre dos o mas proposiciones simples son:
        y
        o
        si... entonces
        si y solo si..
        no
        Representada con los siguientes simbolos
        Ejemplo
        A) este lapiz es mio y este borrador tambien
        B) este jardin no tiene rosas
        C) salgo a pasear o termino mi tarea
        D) veremos la pelicula, si y solo si consigo las entradas
        E) si el 17 es mayor que 13 entonces, 13 es menor que 17
        Solucon
        A) el conectivo logico es ¨y¨
        B) el conectivo logico es ¨no¨
        C) el conectivo logico es ¨o¨
        D) el conectivo logico es ¨si y solo si¨
        E) el conectivo logico es ¨si.. entonces¨
- Conectivo logico
  - Conjucion
    - Es la proposicion compuesta al enlazar dos o mas proposiciones simples mediante el conectivo logico
      - Ejemplo
        p: El oso es mamifero q: El oso es molusco
        Solucion
        p ^ q:El oso es mamifero y molusco
        Para determinar el valor de verdad de una conjucion se utiliza su tabla de verdad p ^ q
- Disyucion
  - Es una proposicion compuesta formada por dos o mas proposiciones simples mediante el conectivo logico o
    - Ejemplo
      - p: Los insectos son antropodos q: los pajaros son aves
        Solucion
        p v q: los insectos son antropodos o los pajaros son aves
        Para determinar el valor de verdad la tabla de verdad muestra que la nueva proposicion p v q es falsa unicamente si las dos proposiciones simples que la forman son falsas y verdadera en el resto de los casos
- Implicacion o condicional
  - Una proposicion compuesta es condicional cuando las proposiciones que la forman estan relacionadas con el conectivo logico si.. entonces, llamado implicacion
    - Ejemplo:
      - p: La mosca es insecto q: la mosca nada en el agua
        Solucion
        ?⟹?: Si la mosca es in insecto, entonces, nada en el agua.
        Para determinar el valor de verdad de una implicacion se utiliza su tabla de verdad
- Doble implicación, bicondicional o equivalencia:
  - una proposición compuesta es bicondicional cuando cada proposición simple implica a la otra. Dichas proposiciones están relacionadas con el conectivo lógico …si y sólo si…, llamado equivalencia.
    - Ejemplo:
      - p: San Andrés es una isla. q: San Andrés está rodeada de agua.
        Solucion
        ?⟺?: San Andrés es una isla, si y sólo si, está rodeada de agua.
        Para determinar el valor de verdad de una equivalencia se utiliza su tabla de verdad, La tabla de verdad muestra que la nueva proposición ?⇔? es verdadera si las dos proposiciones simples que la forman tienen igual valor
- Proposiciones categóricas
  - El tipo especial se refiere a que las proposiciones pueden ser universales (afirmativas o negativas) o particulares (afirmativas o negativas).
    - Proposición Categórica Universal afirmativa
      - Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
        a. Conductores de automóviles que no son seguras y b. personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
- Negacion
  - la negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Así, si la proposición ? tiene valor de verdad, entonces la proposición ~? tiene valor de verdad falso
    - Ejemplo.
      - p: Todo número entero es racional.
        Solucion
        ~?: Algún número entero no es racional.
  - Proposiciones con cuantificadores
    - Un cuantificador es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición. Por ejemplo, en la proposición Todos los animales mamíferos son vivíparos, la expresión todos determina la cantidad de animales mamíferos que son vivíparos.
      - En matemáticas se utilizan como cuantificadores las expresiones
        todos
        algunos
        ninguno
        ningún
        cada
        entre otros.
        Ejemplo:
        Negar las siguientes proposiciones cuantificadas y simbolizarlas.
        a. Todos los números naturales son impares. b. Algunos taxis son negros
        Solucion
        a. Proposición: todos los números naturales son impares. Simbolización proposición: ∀?∈ℕ∕? ?? ????? Negación: existe algún número natural que no es impar. Simbolización negación: ∃?∈ℕ∕? ?? ?? ?????
        b. Proposición: algunos taxis son negros. Simbolización proposición: ∃? ????∕? ?? ????? Negación: todos los taxis no son negros. Simbolización negación: ∀??????⁄?? ?? ?????
- Proposición Categórica Universal negativa
  - Esta es una proposición universal negativa. Niega (en forma universal) que los conductores responsables son un peligro para la vida de los demás.
    - a. Conductor de automóvil responsable y b. personas que ponen en peligro la vida de los demás.
      - Ningún S es P, donde S representa el término sujeto y P el término predicado.
        La proposición recibe el nombre universal negativo, porque la proposición niega que la relación de inclusión de clase tenga lugar entre las dos clases y lo niega en forma universal: no hay ningún miembro de S que también lo sea de P.
- Proposiciones categóricas afirmativa particular
  - Algunos estudiantes de la secundaria ingresan a la educación superior.
    - Ejemplo
      - a. Estudiantes de secundaria y b. Estudiantes que ingresan a la educación superior
        Algún S es P, lo cual significa que por lo menos un miembro de la clase designada con el término sujeto S también es miembro de la clase designada por el término predicado P. El nombre afirmativa particular hace referencia a que la proposición afirmativa se cumple en la relación de inclusión entre clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente, solo parcialmente, de algunos miembros particulares de la primera clase.
- Proposiciones categóricas Negativa particular
  - Algunos números reales no son positivos.
    - Ejemplo
      - a. Números reales y b. Números negativos
        Algún S no es P. dice que por lo menos un miembro que pertenece a la clase designada por el término sujeto, S, es excluido de la totalidad de la clase designada por el término predicado, P.
- Proposiciones contradictorias
  - Dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negación de la otra, es decir, las dos proposiciones no pueden ser a la vez verdaderas ni a la vez falsas. Es claro que dos proposiciones categóricas en forma estándar que tienen el mismo término sujeto y termino predicado, pero son diferentes tanto en cantidad como en cualidad, son contradictorias entre sí.
    - Ejemplo:
      - ?: todos los jueces son abogados ?: algunos jueces no son abogados
        Son contradictorias porque son opuestas tanto en cantidad como en cualidad. La proposición ? es universal afirmativa, mientras que la proposición ? es particular negativa.
        Ejemplo
        ?: algunos números reales son negativos. Es particular afirmativa ?: todos los números reales son negativos. Es universal negativa.
- Proposiciones Contrarias y Subcontrarias
  - Proposiciones contrarias
    - Ejemplo
      - ?: Paola es mayor que Angélica ?: Angélica es mayor que Paola
        En forma general se puede decir que dos proposiciones universales que tienen los mismos sujetos y predicados pero difieren en cualidad son contrarias.
        Ejemplo
        ?: todos los números enteros son positivos ?: algunos enteros son positivos ?: todos los enteros son negativos
Diana Marcela Pabon Rengifo 73201050 Naudy Marcela Salinas Castillo 73201090 grupo: 1
Proposiciones Subcontrarias
- Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero si ambas verdaderas
  - Ejemplo
    - ?: algunos enteros son positivos ?: algunos enteros son negativos Son subcontrarias debido a que ambas son verdaderas.
      - Observa que necesariamente, al afirmar que “algunos enteros son negativos”, estamos afirmando que el resto son enteros positivos. Esto imposibilita que ambas proposiciones sean falsas.
        Ejemplo
        ?: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos ?: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos Las proposiciones ? y ? pueden ser las dos verdaderas, pero no pueden ser las dos falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias.
Proposiciones Contingentes
- Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama CONTINGENTE.
  - Ejemplo
    - ?: todos los matemáticos son filósofos Esta es una proposición que no es necesariamente verdadera (no todos los matemáticos son filósofos), ni necesariamente falsa (existen matemáticos que si son filósofos)
    - Clave
      - Observa que necesariamente, al afirmar que “algunos enteros son negativos”, estamos afirmando que el resto son enteros positivos. Esto imposibilita que ambas proposiciones sean falsas. En forma general se afirma que dos proposiciones particulares que tienen el mismo término sujeto y término predicado pero diferente cualidad son subcontrarias
        Ejemplo
        ?: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos ?: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos Las proposiciones ? y ? pueden ser las dos verdaderas, pero no pueden ser las dos falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias.