Derivadas

Derivadas

1. Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:

   • se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando:
     • a derivada de f em x0 pode também se expressa por:

2. Surgiu com Pierre Fermat no século XVII. Com seus estudos sobre funções, ele chegou a um empasse sobre a definição do que era uma reta tangente.

   • Regra da Potência:
     • Isso se deve ao fato de que a potência n “cai” quando derivamos uma função potência. Por exemplo, a derivada de f(x) = x2 é f'(x) = 2x
   • Regra da multiplicação por constante:
     • A constante “sai” e fazemos apenas a derivada da função. Por exemplo, vamos considerar a função f(x) = 3x4 e sua derivada é:
   • Regra da soma:
     • A derivada de uma soma de duas funções f(x) e g(x) é a soma das derivadas de f(x) e g(x). Por exemplo, seja h(x) = 3x + 5x². A derivada de h(x) é h'(x) = 3 + 10x.

3. A derivada de uma função num ponto:

   • A derivada de uma função f (x) no ponto x , denotada por f' (x1) é definida pelo limite:
     • Este limite nos dá a inclinação da reta tangente á curva y= f (x) no ponto (x1 , (f (x1)) . Por tanto, á derivada da função y= f(x) no ponto x1, representa a inclinação da curva nesse ponto.

4. A derivada de uma função:

   • A derivada de uma função y = f (x) é a função denotada por f' (x) , tal que seu valor em qual qualquer é dado por:

5. Derivadas Laterais:

   • Se a função y-f(x) está definida em x1, então a derivada á direita de f em x1, denotada por f'+ (x1) é definida por:
     • • A função é derivada em um ponto , quando as derivadas á direta e a esquerda nesse ponto existem e são iguais.
     • f'- (x1) é definida por:

6. Derivada de função composta

   • Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y= g(u) e u = f (x)
     • Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y= g(u) = g [f(x)] , isto é, podemos considerar á função composta (g0f) (x).
       • Regra da cadeia:

7. Derivadas das funções elementares

8. Derivadas das funções trigonométricas

   • Inversa:

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