Factorizacion

Factorizacion

1. Definicion

   • Proceso de escribir un número o un polinomio como el producto de sus factores.
     • La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
     • Por ejemplo, ya que x2 - 1 tiene los factores (x + 1) y (x - 1), se puede escribir como (x + 1)(x - 1).
       • La factorización es un concepto importante cuando se trabaja con ecuaciones cuadráticas.
         • Para resolver la ecuación x2 - 4 = 0
           • las soluciones se vuelven evidentes cuando la ecuación se factoriza de la siguiente manera: x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) Como se muestra, tenemos que x + 2 = 0, o x - 2 = 0. De ahí que, x = -2, o x = 2.

2. Tipos

   • Factorar un Monomio:
     • En este busca los factores en los que se puede descomponer el término.
       • 15ab = 3 * 5 a b
   • Factor Común Monomio
     • En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos.
       • Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común a² + 2a = a (a + 2)
   • Factor Común Polinomio
     • En este caso en ambos términos tu factor que se repite es (a + b), entonces lo puedes escribir de como el factor del otro binomio x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b)
   • Factor Común por Agrupación de Términos
     • ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b)
   • Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1
     • El Cuadrado del 1er Termino + 2 Veces el 1ro por el 2do + el Cuadrado del 2do
       • a² + 2ab + b² = (a + b)²
   • Diferencia de Cuadrados: a² - b²
     • De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados
       • a² - b² = (a - b) (a + b) 4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
   • Diferencia de Cuadrados Perfectos
     • Factorar (a + b)² - c²
       • a + b)² - c² = [(a + b) + c] [(a + b) - c] = (a + b + c) (a + b – c)
   • Trinomio de la Forma; x² + bx + c
     • Factorar x² + 7x + 12
       • Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
         • 4 + 3 = 7, 4 x 3 = 12. Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática (x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x: x = - 4 x = - 3
   • Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
     • ejemplo: 6x² - x - 2
       • 1ro) multiplica los términos de los extremos de tu trinomio (6x²) (-2) = -12x². 2do) Basándote en el coeficiente del segundo termino (-x) = -1 y en el resultado del 1er paso, vamos a buscar 2 numero que sumados me den (-1) y multiplicados me den (-12x²). 3ro) esos números son (-4x) y (3x), sumados, me dan (-1) y multiplicados me dan (-12x²). 4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er termino de tu trinomio con el 1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x). 5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el 3er termino de tu trinomio (-2); (3x-2). 6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) + (3x-2), encuentra algún termino común en cada uno 2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos en otro paréntesis y elimina un termino de los 2 que tienes (3x-2). Este será tu Factorización (2x+1)(3x-2).
   • Suma o Diferencia de Cubos: a³ + b³
     • Suma de Cubos: a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)
       • Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la suma de las raíces de ambos términos El cuadrado del 1er termino, - el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino
     • Diferencia de Cubos: a³ - b³ = (a - b) (a² + 2ab + b²)
       • Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la resta de las raíces de ambos términos El cuadrado del 1er termino, + el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino

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