Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Poliedros: Poliedros são figuras tridimensionais formadas pela união de um número fifnito de polígonos. É composto pelas faces, vértices e arestas.

   • Poliedros convexos: Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma das faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
     • Poliedros regulares: Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
       • Há apenas cinco poliedros regulares convexos, sendo eles o: Tetraedro (4 faces triangulares equiláteras); Octaedro (8 faces triangulares equiláteras); Icosaedro (20 faces triangulares equiláteras); Cubo (6 faces quadradas); Dodecaedro (12 faces pentagonais regulares).
   • Poliedros não convexos: Um poliedro não é convexo quando dois pontos que formam um segmento de reta nas extremidades e parte deste segmento de reta não pertença ao poliedro.
   • Relação de Euler: É uma importante fórmula que relaciona o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo. Sendo a fórmula = V - A + F = 2.
     • Poliedros de Platão: Um poliedro é denominado assim só se todas as suas faces tiverem o mesmo número de arestas; em todos os vértices concorrerem o mesmo número de arestas; valer a relação de Euler. Um exemplo é o cubo.

2. Prismas: Prismas são sólidos geométricos definido no espaço tridimensional que possuem duas bases poligonais e um número limitado de faces laterais.

   • Prismas retos: Um prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e é oblíquo quando não o são.
     • Prisma regular: Um prisma é regular quando sua base é um polígono regular. Um exemplo é o cubo ou o hexaedro regular.
       • Diagonal de um paralelepípedo retângulo: A diagonal do paralelepípedo retângulo é dado pela fórmula:
       • Diagonal de um cubo: Como ele é um caso particular de paralelepípedo reto retangular, sua fórmula é dada por: D = a√3.
   • Área da superfície de um prisma: Em todo prisma, consideramos sua Superfície lateral (formada pelas faces laterais); Área lateral (é a área da superfície lateral); Superfície total (formada pelas faces laterais e pelas bases); Área total (é a área da superfície total).
   • Volume do prisma: O volume do prisma = volume do paralelepípedo retângulo. Logo o volume de um prisma é = área da base X altura.
     • Princípio de Cavalieri: Por meio dele, é possível chegar ao volume de qualquer prisma utilizando o volume de um prisma conhecido, desde que o segundo possua a mesma altura que o primeiro e que ambos possuam a mesma área da base .

3. Pirâmides: A pirâmide é uma figura geométrica espacial, mais precisamente um poliedro. É formada pela altura, faces laterais e arestas laterais.

   • Pirâmide regular: Uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular.
     • Tetraedro regular: Formado por quatro triângulos equiláteros e nele qualquer uma das faces pode ser considerada base.
   • Área da superfície da pirâmide: Em toda pirâmide consideramos a superfície lateral (formada pelas faces laterais que são triângulos); Área lateral (área da superfície lateral); Superfície total (formada pelas faces laterais e pela base); Área total (é a área da superfície total).
   • Volume da pirâmide: Segundo o princípio de Cavalieri, os volumes de duas pirâmides são iguais quando ambas possuem bases de áreas iguais e a mesma altura.
     • Volume da pirâmide triangular ou uma pirâmide qualquer: Um prima de mesma área da base e mesma altura de uma pirâmide possui três vezes o volume dessa pirâmide de mesma área da base e mesma altura. Logo, o volume de uma pirâmide se dá por:
   • Tronco de pirâmide: O tronco da pirâmide é o sólido formado por uma secção transversal em uma pirâmide. Possui duas bases e suas faces laterais são trapézios.
     • Volume do tronco da pirâmide: Na prática é mais adequado obter o volume do tronco pela diferença dos volumes das pirâmides semelhantes. Porém há a fórmula:

4. Corpos redondos: Os corpos redondos são sólidos geométricos que não possuem faces laterais, mas em seu lugar possuem superfícies curvas. Sendo eles cones, cilindros e esferas.

   • Cilindro: Cilindro é uma forma geométrica tridimensional formada por duas bases circulares em planos distintos e paralelos e por todos os pontos entre essas bases. A altura do cilindro é a distância entre os planos das bases.
     • Área da superfície de um cilindro reto: A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies das duas bases. Área lateral: A = b . h. A base (b), neste caso, é 2 . π . r. A altura é h. Já a área das bases é dada por: Ab = 2 . π . r². Área total é a soma de ambas as áreas.
       • Volume do cilindro: O volume do cilindro é calculado da mesma forma que calculamos o volume de um prisma: área da base X altura. Dessa forma o volume do cilindro é dado por: V = π . r² . h
   • Cone: Possui uma base circular formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice em comum.
     • Área da superfície de um cone reto: A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circular) mais a superfície da base (um círculo). Sendo a área da base = π . r², e a área da lateral = π . r . g, onde g é a medida da geratriz que forma a lateral cônica.
       • Volume do cone: Usando o princípio de Cavalieri, o volume de um cone de mesma área da base e mesma altura de um cilindro é igual a 1/3 do volume do cilindro. Logo sua fórmula é:
     • Tronco de cone reto: O tronco de cone pode ser considerado de forma análoga ao tronco de pirâmide.
       • Área lateral de tronco de cone reto: É dada pela fórmula Al = π . g . (R + r).
         • Volume do tronco de cone reto: Na prática, em vez de usar a fórmula, em geral é mais adequado obter o volume do tronco de cone pela diferença dos volumes dos cones semelhantes (o original e a miniatura), como no caso do tronco de pirâmide. Porém há a fórmula:
   • Esfera: A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo.
     • Área da superfície esférica: A área da superfície esférica é dada pelo quádruplo da área de um dos círculos máximos, ou seja: 4 . π . R²
       • Volume da esfera: O volume de uma esfera de raio r é igual a:

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