Produtos Notáveis

Produtos Notáveis

1. Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios.

2. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Quadrado da soma.

   • Quadrado da soma:Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo: (x + a)(x + a) O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência desse produto é a seguinte: (x + a)2 A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir: (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira: (x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + xa + ax + a2 = x2 + 2xa + a2 O resultado final desse produto notável pode ser usado como fórmula para qualquer hipótese em que houver uma soma elevada ao quadrado. Geralmente, esse resultado é ensinado da seguinte maneira: O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo Exemplo: (x + 7)2 = x2 + 2x7 + 49 = x2 + 14x + 49 Observe que esse resultado é obtido pela aplicação da propriedade distributiva em (x + 7)2. Portanto, a fórmula é obtida a partir da propriedade distributiva sobre (x + a)(x + a).
   • O quadrado da diferença é o seguinte: (x – a)(x – a) Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências: (x – a)2 O seu resultado é o seguinte: (x – a)2 = x2 – 2xa + a2 Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio. Geralmente, esse produto notável é ensinado da seguinte maneira: O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
   • É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo: (x + a)(x – a) Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma: (x + a)(x – a) = x2 – a2 Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4). (xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162 Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira: O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
   • Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (x + a)(x + a)(x + a) Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (x + a)3 Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável: (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 Assim, em vez de fazer um cálculo extenso e cansativo, podemos calcular (x + 5)3, por exemplo, facilmente da seguinte maneira: (x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125
   • O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (x – a)(x – a)(x – a) Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto: (x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3 Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença: (x – 2y)3 (x – 2y)3 = x3 – 3x22y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3x22y + 3x4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3