Números complejos Aitor Q

Números complejos Aitor Q

1. Forma Binómica

   • Un número complejo se define en forma binómica como:  z=x + yi
   • Paso de binómica a polar
     • r = √a2 + b2
     • Arctg(b/a)
   • Paso de binómica a trigonométrica
     • z= z cos a · sen a i

2. Forma trigonométrica

   • La forma trigonométrica solo es el cálculo del coseno de alfa y el seno de este por i. Si resolvemos este cálculo daría de resultado la forma binómica de nuevo.

3. Historia cronológica de los números complejos

   • Primeros estudios: S. XVI
     • Numerosos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli,​ y fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien desarrolló un formalismo más abstracto para los números complejos, extendiendo esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.
       • El interés por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos y cuárticos (véase Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano). Pronto se dieron cuenta de que estas fórmulas, incluso si solo se estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.
         • El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, esforzándose precisamente por enfatizar su naturaleza imaginaria
   • La referencia fugaz más temprana a raíz cuadrada de número negativo aparece en el trabajo del matemático griego del siglo I Herón de Alejandría. En su Stereometrica considera, aparentemente por error, el volumen de un tronco de pirámide con una solución imposible.
     • Los matemáticos hindúes dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del 850 comenta que un número negativo no puede tener raíz
     • En el siglo XVIII, los números complejos obtuvieron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar los cálculos que implican funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre observó que las complicadas identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente reexpresarse mediante la siguiente conocida fórmula que lleva su nombre
       • (cos+ isen) ^0 = cos n0 + i sen n0
         • Esta dificultad finalmente llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de √−1 para protegerse contra este error. Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes números complejos mucho antes de lo que se hace hoy en día. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de Álgebra, introducía estos números casi de inmediato y luego los usaba de forma natural.
           • Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, han permitido extender el concepto del cálculo al plano complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada

4. Forma polar

   • Si r es igual al módulo y a es un módulo de un número complejo z. Por lo tanto, (r , a) son sus coordenadas polares y el número complejo en forma polar se escribe z= r^a