Teoría de juegos: elementos, estrategias y criterio minimax

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1. 1. Problemas bajo Conflicto.

   • Situación de conflicto
     • Es aquella en la cual chocan o se enfrentan los intereses de varias partes que persiguen objetivos distintos.
       • Cada una de las partes puede tomar una serie de acciones alternativas o estrategias para alcanzar su objetivo.

2. 2. Juego.

   • Situación de conflicto de dos o más partes.
     • Criterios:
       • Jugadores.
         • Partes del conflicto.
         • Jugadas.
           • Acciones que se efectúan por cada jugador durante el juego.
           • Estrategia.
             • Descripción unívoca de su acción ante cada respuesta del contrario.
             • Reglas del juego.
               • Indican los derechos y obligaciones de los participantes así como los resultados del juego, es decir, la ganancia o pérdida de cada participante en función de la situación formada.

3. 3. Explicación de Teoría de Juegos.

   • John von Neumann y Oskar Morgenstern.
     • Desarrollaron originalmente las estrategias de juego.
       • Minimax o maximin.
         • Proporciona la solución de tales juegos suponiendo que cada uno de los jugadores desea maximizar su ganancia mínima esperada, o en forma equivalente, minimizar su pérdida máxima esperada.

4. 4. Elementos de un Juego.

   • 1.- Jugadores.
     • 2.- Estrategias.
       • 3.- Resultados.
       • Sujetos a una regla.

5. 5.Notación.

   • A1, A2,…, Ar son las estrategias del jugador 1.
     • B1, B2,…, Bm son las estrategias del jugador 2.
       • Aij resultado ganancia o pérdida del jugador 1 cuando este adopta la estrategia i y el jugador 2 adopta la estrategia j.
         • Bij Resultado ganancia o pérdida del jugador 2 cuando este adopta la estrategia j y el jugador 1 adopta la estrategia i.
   • Para el caso de dos jugadores definiremos lo siguiente:
     • Si Aij + Bij = 0 diremos que es un juego de suma cero.
       • Si Aij + Bij = K diremos que es un juego de suma constante.
         • Ejemplo: Lanzar una moneda, gano $1 si cae águila y pierdo $1 si cae sol (suma cero).
           • Ejemplo: Dos empresas que compiten por una clientela constante: Coca y Pepsi, K = 100% de población (suma constante).

6. 6. Matriz de Juego.

   • Es la matriz donde se reúnen los resultados dada cada posible combinación de estrategias.
     • Estructura genera.
       • Ejemplo 1.
         • Juego de la mora.
           • Se tienen dos jugadores que muestran simultáneamente 1 ó 2 dedos, pudiendo ocurrir: Que el jugador 1 muestre un dedo y el otro dos o que el jugador 1 muestre dos dedos y el otro uno, en tal caso el jugador 1 pierde $1, Que ambos jugadores muestren un dedo o dos dedos, entonces el primer jugador gana $1
             • Descripción de estrategias y matriz de juego.
               • Jugador 1 A1 = mostrar 1 dedo A2 = mostrar 2 dedos
               • Jugador 2 B1 = mostrar 1 dedo B2 = mostrar 2 dedos

7. 7. Dilema de los Prisioneros.

   • Arturo y Roberto fueron capturados in fraganti robando un automóvil; el Procurador decide hacer que los prisioneros jueguen un juego con las siguientes reglas.
     • Reglas del juego:
       • • Cada prisionero (jugador) se sitúa en una habitación separada y no puede comunicarse con el otro jugador.
       • • SI confiesan recibirán sentencia de 3 años.
       • • El que confíense tendrá sentencia de un año y el cómplice una de 10 años.
       • Estrategias del juego:
         • Confesar el robo del banco.
           • Negar haber cometido el robo del banco.
         • Recompensas del juego:
           • 1. Ambos confiesan.
             • 2. Ambos lo niegan .
               • 3. Arturo confiesa y Roberto lo niega.
                 • 4. Roberto confiesa y Arturo lo niega.
           • Matriz de recompensas.
             • Resultado final:
               • La mejor acción para todos los jugadores es confesar obtiene una sentencia en prisión de 3 años.

8. 8. Equilibrio de Nash.

   • Propuesto por primera vez por John Forbes Nash.
     • Se da cuando existe una estrategia dominante para cada jugador.
       • Una estrategia dominante ocurre cuando la mejor estrategia para un jugador es la misma, independientemente de la acción que lleva a cabo el otro jugador.
       • Cada jugador tiene una sola acción que es mejor independientemente de lo que haga el otro jugador.

9. 9. Método de Dominación.

   • Para un jugador 1 maximizante, diremos que la estrategia Ak domina a la Ar si se cumple:
     • A) Aki ≥ Ari para i = 1,2,3,…,m.
     • B) Aki > Ari para al menos una i.
   • Para un jugador 2 minimizante, diremos que la estrategia Bk domina a la Br si se cumple:
     • A) Aik ≤ Air para i = 1,2,3,…,n.
     • B) Aik < Air para al menos una i.
   • Ejemplos:
     • Cantidades positivas representan pagos que el jugador B hace al jugador A y las cantidades negativas representan los pagos que el jugador A hace al jugador B.
       • Jugador A.
       • Jugador B.
       • Valor del juego: $6.
     • Valor del juego: $4.
     • Matriz de recompensas de las empresas Engranaje y Tetra

10. 10.Método Punto Minimax.

    • El valor de un juego estrictamente determinado es el valor de su punto minimax.
      • Para comprobar si existe un punto minimax usualmente se escribe el mínimo de las filas al lado de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna.
        • Determina el máximo de los mínimos.
          • Si fueran iguales, se habría encontrado un punto minimax.
    • Ejemplos:
      • Investigar si en los siguientes juegos existen puntos minimax.
      • Investigar si en los siguientes juegos existen puntos minimax.

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