Fundamentos de Análise Matemática

Fundamentos de Análise Matemática

1. Conjunto R como um corpo ordenado completo

   • Cconjunto bem ordenado, tal que todo subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.
     • Arranjos, distribuição metódica, organização matemática
       • Significa a necessidade de se colocar os números de uma sequência em uma ordem predefinida
   • Axioma
     • Comprovação dispensável por ser óbvia, surge princípio evidente por si mesmo
       • Norteiam com conceito sobre ordenação
         • Os axiomas caracterizam o conjunto R como um conjunto ordenado
           • A soma e o resultado do produto de números não negativos, são, de igual modo, positivos.
           • Considerando um determinado x em P, ocorre exatamente uma das três alternativas: a. X é igual a zero; b. X está em P; ou c. o negativo de x está em P.
           • Propriedade ⇾ todo número real não nulo, quando elevado ao quadrado, é positivo.
   • R é corpo ordenado dá sentido às desigualdades (inequações)
     • R = Q ∪ I, mas Q ∩ I = Ø
     • Subtipos de conjunto R
       • Conjunto R não nulos, R* = {x∈R | x≠0}
         • Conjunto R não negativos, onde R+ = {x∈R | x≥0}
           • Conjunto R positivos, onde R*+ = {x∈R | x>0}
             • Conjunto R não positivos, onde R* = {x∈R | x≤0}
     • Na inequação há símbolos para apresentar a disparidade
       • “>” (Maior que), “<” (Menor que), “≥” (Maior ou igual) e ≤ (Menor ou igual).
     • (R,+,·) é um corpo ordenado, porque existe um subconjunto próprio R+ ⊂ R
       • R − = {−x; x ∈ R +}
       • R = R − ∪ {0} ∪R +
       • Corpo
         • Conjunto A tem uma operação de soma e multiplicação, deve satisfazer relações matemáticas
         • O corpo encontra uma maneira de dizer que os elementos do conjunto podem ser “> ou <” que outro = “CORPO ORDENADO”.
           • R é um corpo ordenado
             • S pertence ao conjunto R, tem seus elementos convergindo para um número específico, neste caso o zero, e o zero que foi o número para qual convergiu o resultado, tem que pertencer também ao conjunto S
               • CORPO ORDENADO COMPLETO.
                 • Teorema: Existe um único tipo de corpo ordenado completo.
     • Números reais é o "menor" subconjunto indutivo de R
       • Princípio da Indução Finita