Fundamentos de Análise Matemática

Fundamentos de Análise Matemática

1. Critério de convergência de séries numéricas

   • a sequência an é convergente se existir um número real L tal que, dado qualquer número positivo ℇ, existe um índice n0 = n0 (ℇ) ∈ N de modo que |an - L| < ℇ para todo n ≥ n0. Onde L é o limite an
   • Teorema 1: Se an, bn convergem, então as séries can , (an+bn) e (an-bn) também convergem
   • Teorema 2: Se a série n=1an converge, então nan=0.
   • Teorema 3: Se nan não existe ou se nan0 então a série n=1an diverge.
   • Teorema 4 (Teste da Integral): Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1,∞). Se an = f(n),
   • Teorema 5 (Teste da Comparação): Suponha que an e bn sejam ambas séries termos positivos tais que an ≤ bn para todo n > N.
   • Teorema 6 (Teste da Comparação no Limite): Suponha que an e bn sejam ambas séries com termos positivos. se nan/bn = c, em que c > 0 é um número finito, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.

2. Filósofo pré-socrático Zenão de Eleia (490/485 a.C. a 430 a.C

   • Paradoxos Zenão
     • Caso Aquiles e a tartaruga
       • Aquiles nunca conseguiria ultrapassar a mais lenta das tartarugas desde que ela iniciasse a corrida antes dele
         • A conclusão foi que em cada etapa percorrida, a distância entre eles vai diminuindo de acordo com o fator 0,1, e o processo continua até ao infinito.
           • Paradoxo é o fato de ser finita a soma de um número infinito de parcelas.
             • Se tudo o que há está situado num espaço, é evidente que haverá um espaço do espaço, e isto se seguirá até o infinito
   • Provar a inconsistência dos conceitos de multiplicidade, divisibilidade e movimento.