Para que servem os números? CONJUNTOS NUMÉRICOS

Para que servem os números? CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. NÚMEROS INTEIROS

   • Definição: Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. O conjunto ℤ é infinito e pode ser representado da seguinte maneira: ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+). O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.
   • Parte Histórica: Os números inteiros surgiram na época do Renascimento, quando os matemáticos sentiram a necessidade de contar com números específicos para garantir a boa resolução de equações simples. Eram necessários números e símbolos que pudessem representar temperaturas acima e abaixo de 0ºC e tantas outras necessidades das ciências. Com o início do Renascimento surgiu também a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos.
   • Importância: Os números inteiros fazem maior parte em nosso cotidiano, pois eles têm o conjunto de números naturais e os números naturais com sinal negativo, por isso sua importância, ele engloba os números que mais utilizamos em nosso dia a dia. Seja para contar dinheiro, contar valores ou diversas outras coisas.
   • Motivo do Surgimento: Ele surgiu da necessidade de contar com números específicos para garantir a boa resolução de equações simples, surgiu também a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos.
   • Propriedades dos números inteiros: •Sendo P e I o conjunto dos números inteiros pares e ímpares, respectivamente, temos P ∪ I = Z e P ∩ I = Ø; •Todo número inteiro tem sucessor e antecessor; •A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro; •A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro; •O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. •Os sinais de mais e menos possibilita que os números inteiros, com exceção do zero, sejam simétricos ou opostos. •Os números inteiros também possuem módulo ou valor absoluto. Essa característica corresponde à distância dele até o ponto de origem (zero) na reta numérica.
   • Aplicações: Exemplo de aplicação - encontrar valores. Encontre o sucessor e o antecessor dos números inteiros a seguir:
     • a) 26 b) -84 c) 203 d) -3 e) 0
       • RESOLUÇÃO Antecessor = {x ∈ Z | x – 1} Sucessor = {x ∈ Z | x + 1} a)antecessor: x – 1 = 26 – 1 = 25 // sucessor: x + 1 = 26 + 1 = 27 b)antecessor: x – 1 = -84 – 1 = -85 // sucessor: x + 1 = -84 + 1 = -83 c)antecessor: x – 1 = 203 – 1 = 202 // sucessor: x + 1 = 203 + 1 = 204 d)antecessor: x – 1 = -3 – 1 = -4 // sucessor: x + 1 = -3 + 1 = -2 e)antecessor: x – 1 = 0 – 1 = -1 // sucessor: x + 1 = 0 + 1 = 1

2. NÚMEROS RACIONAIS

   • Definição: O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que podem ser escritos na forma de fração, com o denominador diferente de zero. Assim, se o número pode ser representado por uma fração, então ele é um número racional. Portanto, o Conjunto dos números Racionais engloba o conjunto dos inteiros, os números decimais finitos (Ex: 45,236) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como: “1,3333333...”; “0,232323...”; “1,5888...”, chamados também de dízimas.
   • Parte Histórica: Cada um dos conjuntos numéricos que conhecemos hoje surgiu diante da necessidade de representar uma certa quantidade de algo. É claro que não foi diferente com os números racionais. Até então, existiam apenas os números naturais e os números inteiros, mas nenhum deles conseguia representar as partes de um todo.
   • Motivo do Surgimento: Surgiu da necessidade das partes de um todo. Além disso, uma das 4 operações fundamentais da aritmética também não estava totalmente satisfeita sem a existência dos números racionais. Quando somamos, subtraímos ou multiplicamos dois números inteiros, sempre obtemos como resultado números também inteiros. Contudo, caso uma divisão entre dois números inteiros seja realizada, o resultado pode ser inteiro, mas também decimal. Números decimais nunca fizeram parte do conjunto dos números inteiros. É dessa ideia que surgiu a definição dos números racionais.
   • Importância: A importância dos números racionais está na descoberta de outro conjunto numérico necessário para resolver determinados problemas enfrentados no contexto diário, como situações em que está implícita a relação de uma parte do todo, por exemplo - uma metade, um terço ou quarto de uma quantidade – ou situações em que usamos sistemas de medidas e sistemas monetários.
   • Propriedades dos números racionais • Entre dois números racionais, sempre existirá outro número racional É interessante pensarmos nessa propriedade, que foi muito discutida pelos povos antigos, tornando-se um paradoxo. Escolhendo dois números racionais, sempre existirá um número entre eles. Exemplo: Entre o 1 e o 2, existe o 1,5; entre o 1 e o 1,5, existe o 1,25; entre o 1 e o 1,25, existe o 1,125 e assim sucessivamente. Por mais que eu escolha dois números racionais com uma diferença muito pequena entre eles, é sempre possível encontrar um número racional entre eles. Essa propriedade torna impossível definirmos sucessor e antecessor nos números racionais. • As quatro operações no conjunto dos números racionais são fechadas Dizemos que o conjunto é fechado para a soma, por exemplo, se a soma de dois números racionais sempre gerar como resposta outro número racional. É o que acontece com as quatro operações em Q.
     • A soma, a subtração, a divisão e a multiplicação entre dois números racionais sempre resultarão em um número racional. Na verdade, até mesmo a potenciação de um número racional sempre vai gerar como resposta um número racional. O conjunto dos números racionais não é fechado para a radiciação. Assim, mesmo 2 sendo um número racional, a raiz quadrada de 2 é um número irracional.
   • Aplicações: Exemplo de aplicação – representação em números decimais
     • Considere as frações: 1/3, 5/2, 6/3 e 10/4; represente-as em números decimais.
       • Podemos representar as frações nos seguintes números decimais: 1/3 = 0,333333… // 5/2 = 2,5 // 6/3 = 2 // 10/4 = 2,5

3. NÚMEROS IRRACIONAIS

   • Parte Histórica: A história dos números irracionais tem início na Grécia Antiga, onde Pitágoras e seus seguidores estudaram os números, geometria, filosofia, música e astronomia na Escola Pitagórica. Segundo a doutrina dos pitagóricos, todas as coisas na natureza são constituídas por números e os fenômenos observados podem ser explicados pelos números inteiros (ou frações de números inteiros) chamados números naturais. No século 5 A.C., Hipaso de Metaponto, um dos discípulos de Pitágoras, mostrou que nem todos os números podem ser expressos por uma razão de números inteiros, ironicamente, como consequência de uma aplicação específica do Teorema de Pitágoras. Hipaso de mostrou que a raiz de 2 não pode ser descrita como fração de dois números inteiros. Esse número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.
     • Porém, foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.
   • Motivo do surgimento: O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado (cujo lado mede uma unidade), diagonal essa que mede √2. Essa prova pode ser generalizada, mostrando que a raiz quadrada de qualquer número que não seja um quadrado perfeito é irracional. E por esse motivo deu-se a necessidade do início de um estudo dedicado a um novo conjunto, representado pelos números irracionais.
   • Definição: Conhecemos como números irracionais os que não podem ser representados como uma fração. Existem números irracionais, como o π, que são bastante conhecidos, utilizamos esse símbolo para representar o número, já que ele é uma dízima não periódica. Podemos definir o conjunto dos irracionais como: I = {x ≠ a/b | a ∈ Z e b ∈ Z*}. Ou seja, os números de que estão contidos em I não podem ser frações com números inteiros. Então: I = {…, -√2, …, e, … π, …}
   • Aplicação: exemplo e aplicação - determinar valores
     • Determine o valor das expressões a seguir: a) √ 3 + √3 + √5 b) √6 x √5 c) 2√3 – 5√3 + √23 d) √5/7 e) √40
       • Resolução: a) 2√3 + √5 // b) √(6 x 5) = √30 // c) (2 – 5)√3 + √23 = -3√3 + √23 // d) √5 / √7 // e) √(2 x 2 x 2 x 5) = √(2² x 2 x 5) = 2√10
   • Importância: O conjunto dos números irracionais contempla todos os números que não podem ser escritos na forma de fração. Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos depararam-se com a necessidade de um conjunto que pudesse estabelecer valores que não podem ser representados por frações, ou números inteiros.

4. NÚMEROS REAIS

   • Parte Histórica: a história dos números reais iniciou na Grécia, com a descoberta de segmentos incomensuráveis pela escola de Pitágoras, fato que trouxe à tona os números irracionais. Por um longo tempo, o trabalho com os números irracionais foi evitado e somente 2500 anos depois foi possível estabelecer a construção axiomática dos números reais. O surgimento da expressão “número real” se deu com René Descartes em 1637, quando este rejeitou as raízes de equações expressas por números imaginários e tal expressão ainda é utilizada até hoje. Com o desenvolvimento dos infinitesimais no fim do século XVII, muitas inconsistências nos fundamentos da matemática foram constatadas, mas estas passaram quase despercebidas devido a grande aplicabilidade dos métodos infinitesimais, fato muito explorado nos estudos matemáticos no século XVIII. Somente no século XIX, percebeu-se a necessidade de rigorizar a Análise, o que originou o movimento histórico conhecido como aritmetização da análise. Neste c
   • Motivo do Surgimento: o conjunto dos números reais surgiu a partir da utilização de frações comuns pelos Egípcios, por volta do ano 1000 a.C. O desenvolvimento da noção manteve-se com a contribuição dos Gregos, que proclamaram a existência dos números irracionais.
   • Definição: Os números reais são os que podem ser expressos por um número inteiro (3, 28, 1568) ou decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Significa que abarcam os números racionais (que podem ser representados como o quociente de dois inteiros com denominador diferente de zero) e os números irracionais (os que não podem ser expressos como uma fracção de números inteiros com denominador diferente de zero).
   • Importância: Os números reais moldaram tanto o mundo pois permitiu ao ser humano interpretar o mundo com a visão matemática. O comércio começou com comunicação que misturava retórica, escambo e matemática, os transportes a usam entre outras coisas para funcionar, os computadores usam código binário (0 e 1) para funcionarem assim como Google, Facebook. Esse conjunto está presente no nosso dia a dia e sua importância é indiscutível pelo fato de estar em tudo que nos rodeia.
   • Propriedades: É importante entender que as propriedades dos números reais são consequências de sua definição e são úteis para realização das operações. São elas: • existência de um elemento neutro para a adição e para a multiplicação • propriedade comutativa • propriedade associativa • propriedade distributiva • existência de um inverso
   • Aplicação de exemplo de afirmativas sobre os números reais:
     • Julgue as alternativas: I – As dízimas periódicas são números reais. II – Todo número real é racional ou irracional. III – Nem todo número inteiro é natural.
       • Ao analisar as afirmativas, podemos afirmar que: A) somente I é falsa. B) somente II é falsa. C) somente III é falsa. D) todas são verdadeiras. E) todas são falsas.
         • Resolução da questão: Alternativa D. I – Verdadeira, pois as dízimas são números irracionais, consequentemente, são números reais. II – Verdadeira, pois o conjunto dos números reais é a união dos reais com os irracionais. III – Verdadeira, pois os números negativos, como o -2 e o -5, são inteiros, mas não naturais.

5. Bibliografia: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-racionais.htm https://blog.professorferretto.com.br/numeros-racionais/ http://www.labeduc.fe.usp.br/wp-content/uploads/Unidade-did%C3%A1tica-N%C3%BAmeros-Racionais-Conceitos-e-representa%C3%A7%C3%B5es-1.pdf https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm#:~:text=A%20soma%2C%20a%20subtra%C3%A7%C3%A3o%2C%20a,%C3%A9%20fechado%20para%20a%20radicia%C3%A7%C3%A3o. https://www.deviante.com.br/noticias/ciencia/numeros-irracionais https://matematicabasica.net/exercicios-sobre-numeros-irracionais/ https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/ https://conceito.de/numeros-reais#: https://escolakids.uol.com.br/matematica/numeros-reais.htm http://seer.uece.br/?journal=BOCEHM&page=article&op=view&path%5B%5D=1999#:~:text=Ao%20final%20do%20s%C3%A9culo%20XIX,Cantor%20(1845%2D1918).