LIMITES

LIMITES

1. NOÇÃO INTUIVA

   • 1,2,3,4,... Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite, logo: x->+∞
     • 1,0,-1,-2,-3,... Os termos tornam-se cada vez menores, sem atingir um limite, logo: x ->-∞
       • 1/2,2/3,3/4,... Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor, logo: x->1
         • 1,2/3,3,4/5,... Os termos oscilam sem tender a um limite
           • Exemplo: lim x->1 (2x+1) = 2.1+1=3

2. LIMITES DE FUNÇÃO: LIMITES E IGUALDADE

   • Em simples palavras, devemos "mexer" na função através de soluções matemáticas para tirar uma indeterminação
     • Exemplo: (lim x->9) x-9/√x-3 (conjugado) x-9 . (√3+3)/ √x-3 . (√3+3) Fazendo distrubutivas: (lim x->9) x-9.√x+3/x-9 (anula x-9) (lim x->9) √x+3=3+3=6

3. LIMITES LATERAIS

   • Aproximação pelas laterais, chegando muito, muito perto de um número limite mas não é esse número
     • O limite de f(x) para x->a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e esquerda são iguais, ou seja: Se (lim x->a+) f(x)= (lim x->a-) f(x) = f(x) = b então (lim x->a) f(x)=b

4. LIMITES QUE ENVOLVEM O INFINITO

   • Os limites que envolvem o infitino se configuram pela aproximação dos valore nos dois lados a uma reta assíntota, ela em nenhum momento sobrepõe os valores, se aproximam muito, muito, mas não se tocam
     • Se x se aproxima de dois pela esquerda, ou seja, um número menor muito próximo de dois, o limite tende ao infinito negativo, já pela direita, número um pouco maior que dois, o limite tende ao infinito positivo

5. LIMITES TENDENDO AO INFINITO: x->∞

   • Os limites que tendem ao infinito tem o mesmo princípio dos que envolvem o infinito, porém nossa assíntota é horizontal e da mesma maneira os valores se aproximam dela mas não tocam
     • Temos um teorema quando temos limites tendendo ao infinito: Se K é um número racional positivo e c um número real, arbitrário, então: (lim x->∞) C/Xk = 0 e (x->-∞) C/Xk = 0
       • Exemplo do teorema: (lim x->-∞) 2x(elevado)3-5/ 3x² + x + 2, Simplica todos os termos pelo maior expoente, nesse caso x(elevado)3, 2x(elevado)3/x(elevado)3 - 5/x(elevado)3 / 3x²/x(elevado)3 + x/x(elevado)3 + 2/x(elevado)3, realizando as operações, "cortes": 2/0 = ∞, não é uma indeterminação pois não é realmente 0, mas um número muito próximo de zero.
         • Todos com expoentes diferentes se tornam 0, como representação , pois na realidade é um número muito próximo de 0

6. LIMITES FUNDAMENTAIS

   • Existem 3 tipos de limites fundamentais:
     • 1° Limite fundamental: (lim x->0) sen x / x = 1, Exemplo: (lim x->0) sen 9x / x = 9
       • 2° Limite fundamental: (lim x->+-∞) (1+1/x)(elevado)x (tudo sobre)/x = e, Exemplo: (lim x->∞) (1+5/x)(elevado)x (tudo sobre)/x = e(elevado)5
         • 3° Limite fundamental: (lim x->0) a (elevado)x - 1(tudo sobre)/x = ln a, Exemplo (lim x->2) 10(elevado)x-2 -1 (tudo sobre) /x-2, y=x-2, lim y->0 10(elevado)y - 1 (tudo sobre) y = ln 10

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