Matemática Financeira1

Matemática Financeira1

1. Os elementos básicos da matemática financeira

   • razão
     • A razão consiste no quociente entre dois números.
       • R : Razão.
       • n1: primeiro número.
       • n2 : segundo número (deve ser diferente de zero)
       • Em uma escola pública de uma cidade, uma sala do 5° ano tem 50 alunos, dos quais 30 são meninas. Queremos encontrar a razão do número de meninas em relação ao total.
         • R = n1/n2 => R= 30/50 =0,6
       • pontos a respeito da razão
         • A razão entre dois números é igual a 1 quando ambos os valores são iguais
         • Quando o numerador for maior que o denominador, a razão será maior que 1
         • O valor assumido pela razão será entre 0 e 1 quando o numerador for menor que o denominador
         • A razão será positiva quando ambos os números forem positivos ou ambos negativos.
         • O valor da razão será negativo quando os números possuírem sinais distintos.
         • A razão poderá ser zero. Isso acontecerá apenas se o numerador for igual a zero.
   • proporção
     • Denominamos proporção a igualdade entre duas razões.
       • Uma pessoa gasta em média 100 litros de água por dia para suprir suas necessidades. Qual é o gasto médio para uma família de 3 pessoas em 1 dia? Devemos utilizar a propriedade fundamental da proporção para resolver o exercício.
         • K= n1/n2 = n3/n4 => 1/100 =3/n4 => n4 = 300l
       • k : proporção.
       • n1 : primeiro número.
       • n2 : segundo número (deve ser diferente de zero).
       • n3: terceiro número
       • n4 : quarto número (deve ser diferente de zero).
       • Propriedade Fundamental da Proporção
         • o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, basta efetuarmos a multiplicação cruzada na expressão supracitada. Logo, temos:
   • porcentagem
     • Em matemática, a notação r% (r por cento) é utilizada para representar a fração r/100 (fração centesimal).
       • Calcule 20% de 500
         • (20/100)*500 = 0,2.500 = 100
   • juros simples
     • O juro pago em cada período é sempre constante. Nesse regime, apenas o capital inicial rende juro. Assim, o juro formado no fim de cada período não é incorporado ao capital para render juro no período seguinte. Consequentemente, dizemos que os juros não são capitalizados.
       • Quando trabalhamos com juros simples, os juros são capitalizados ao final da negociação e são calculados unicamente sobre o capital inicial, ou seja, são fixos e iguais em todos os períodos. Dessa forma, podemos concluir que o crescimento do capital ocorre de maneira linear.
         • Assim, a expressão para o cálculo dos juros simples é dada por:
           • J : juros simples
           • PV : valor do capital inicial ou principal.
           • i : taxa de juros.
           • n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
           • O montante ou valor futuro (FV) é igual à soma do capital inicial com o juro relativo ao período de aplicação. Logo:
             • FV : valor futuro.
             • PV : valor do capital inicial ou principal.
             • i : taxa de juros.
             • n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
             • João investiu R$100.000,00 durante 12 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juros simples. Qual montante ele receberá e qual o valor do juro?
               • No problema supracitado, temos os seguintes dados:
                 • Utilizando a expressão para calcularmos o montante ou valor futuro, temos que:
                   • O valor do juro é dado por:
                     • Assim, temos que o montante que ele vai receber é de R$136.000,00 e o valor de juro é de R$36.000,00.
   • juros compostos
     • O juro composto é aquele em que o valor rendido nos períodos anteriores são levados em consideração para calcular o valor do juro do período em análise.
       • Nesse regime de capitalização, o crescimento do capital ocorre de maneira exponencial. Isso ocorre porque os juros incidem sobre o capital inicial mais os juros acumulados até a data em questão
         • Para calcularmos o valor do montante, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
           • FV : valor futuro
           • PV : valor do capital inicial ou principal
           • i : taxa de juros
           • n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização
         • Fiz uma aplicação de R$1000,00 com taxa de juros compostos de 2% a.m., com capitalização mensal, por 10 meses. Qual o valor do montante?
           • Vamos utilizar a expressão matemática que fornece o valor do montante para o caso do juro composto.
             • Assim, temos que o valor do montante da aplicação financeira durante o período em questão é de R$ 1.218,99.
         • Quando estamos interessados em calcular o valor dos juros, para o caso dos juros compostos, devemos nos lembrar da seguinte expressão:
           • Fazendo a substituição para a expressão do montante, temos:
             • Fiz uma aplicação de R$3000,00 com taxa de juros compostos de 1% a.m., com capitalização mensal, por 14 meses. Qual o valor do juro?
               • Vamos utilizar a expressão que calcula diretamente o valor de juro composto
                 • O valor do juro rendido nessa aplicação durante o tempo transcorrido foi de R$448,42
               • Vamos resolver o exemplo de outra maneira
                 • O valor do montante para o caso em questão é dado por
                   • Encontramos o valor de R$3.448,42 para o montante. Agora, devemos nos lembrar de que o valor do capital acrescido ao valor do juro é igual ao valor futuro (montante).
             • Qual taxa de juros ao mês faz com que uma quantia de R$2.500,00 se transforme em R$3.500,00 durante 4 meses?
               • A expressão para o regime de capitalização composta que é utilizada para calcular o valor futuro é
                 • Vamos isolar i
                   • Substituindo os valores fornecidos
             • Quantos períodos são necessários para que um capital de R$10.000,00 se torne R$20.000,00, a uma taxa de juros de 2% ao mês?
               • Vamos isolar a parcela entre parênteses
                 • Aplicando o logaritmo
                   • Substituindo os valores
   • capital ou valor presente (valor inicialmente aplicado)
     • É o valor sobre o qual vão incidir os encargos e os juros. Em investimento, o capital é o investimento inicial realizado.
       • Comprei um veículo que custa R$100.000,00 em 20 prestações com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o valor presente em questão?
         • O valor presente é o valor do investimento feito (é o valor pelo qual compramos o veículo em questão). Logo, o valor presente é de R$100.000,00.
   • prazo (tempo de duração do investimento)
     • O prazo está sempre vinculado a uma unidade temporal (exemplos: dia, mês, semestre, ano etc.). Esse tempo será utilizado para calcular os juros que vão ser incorporados ao capital. Em investimento, o prazo é aquele período de tempo do investimento.
       • Fiz um empréstimo de R$100.000,00 para pagar em 100 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o prazo do investimento?
         • Para o exemplo supracitado o prazo é o tempo em que se demorou para pagar o investimento, no caso 100 meses.
   • juros e taxa de juros (representados em porcentagem)
     • É o aumento de valor sofrido por um determinado capital.
       • juros relativo a um capital, é a remuneração desse capital durante um intervalo de tempo (período financeiro ou período de capitalização).
         • O juro depende do capital e do tempo. O valor do juro em determinado tempo é expresso como uma porcentagem do capital, através de uma taxa.
       • Fiz um empréstimo de R$10.000,00 para pagar em 10 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é a taxa de juros do investimento?
         • O juro é o valor adicional que pagamos para quitar o empréstimo realizado. Assim, temos que a taxa de juro para o exemplo em questão é de 1% ao mês.
   • montante ou valor futuro (valor acumulado ao final de um investimento)
     • É o valor final, somando-se todos os juros acumulados ao capital inicial. O montante ou valor futuro é igual à soma do valor presente com o valor do juro.
       • Existem duas expressões utilizadas para o cálculo do montante ou valor futuro: uma para juro simples e uma para juro composto.
   • fluxo de caixa (descrição das entradas e saídas do caixa)
     • O fluxo de caixa consiste no conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) do capital no caixa ao longo do tempo.
       • convenções utilizadas para a representação do fluxo de caixa
       • Imagine que vou comprar uma camisa de R$300,00 através de três prestações mensais de R$100,00, sem juros. Qual é o fluxo de caixa para essa situação?
         • O fluxo de caixa nos mostra a relação entre as entradas e saídas de caixa.
           • Note que nesse exemplo não há juros. No entanto, caso haja, é necessário que calculemos os valores de cada prestação, para que depois façamos a construção do fluxo de caixa.
   • regimes de capitalização (juros simples ou compostos)
     • Chamamos de regime de capitalização o processo de formação de juro. Há duas maneiras de capitalizarmos um capital: utilizando juros simples ou compostos.
       • Juros é o preço pago pelo aluguel do dinheiro, ou seja, o valor que deve ser pago pelo empréstimo de um capital
   • taxa proporcional
     • duas taxas são consideradas proporcionais quando seus valores formam uma proporção.
       • ik : taxa proporcional.
       • i : taxa em análise.
       • k : período (unidade temporal).
       • Qual a taxa mensal proporcional a 36% ao ano?
         • Basta fazermos a conversão pela utilização da expressão supracitada.
           • Assim, temos que a taxa mensal proporcional a 36% ao ano é de 3% ao mês.
   • taxa equivalente
     • duas taxas são consideradas equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo total de juros.
       • Vamos analisar o juro produzido pelo capital de R$15.000,00 nas taxas e prazos a seguir.
         • a. Taxa de 4% a.m. durante 6 meses.
           • Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
         • b. Taxa de 12% a.t. durante 2 trimestres.
           • Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
         • Como o valor do juro é igual para ambas as taxas, elas são consideradas proporcionais.
   • taxa nominal
     • taxa nominal é a taxa de juros contratada em uma operação financeira. Taxa efetiva é a taxa de rendimento que a operação financeira efetivamente proporciona.
       • A taxa efetiva pode ser utilizada diretamente para se calcular o valor dos juros. Já a taxa nominal necessita que façamos uma conversão.
       • A taxa efetiva é aquela cujo período é igual ao período de capitalização. Já a taxa nominal apresenta valores distintos.
       • Para fazermos os cálculos dos juros ou do montante precisamos sempre utilizar a taxa efetiva. Logo, se foi fornecida a taxa nominal, precisamos fazer a conversão apropriada.
       • Fiz uma aplicação de R$1000,00 com a taxa de juros de 30% a.a. com capitalização mensal. Quais são as taxas efetiva e nominal?
         • Note que a taxa de juros foi fornecida ao ano e que o período de capitalização é mensal. Assim, a taxa de 30% a.a. é a taxa nominal.
           • Para calcularmos a taxa efetiva é necessário converter a taxa de juros fornecida para o respectivo período de capitalização. Assim, temos:
             • Assim, temos que a taxa nominal é de 30% a.a. e a taxa efetiva é de 2,5% a.m.

2. calculadora HP 12C

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