Definición y propiedades de los espacios vectoriales

Definición y propiedades de los espacios vectoriales

1. Definición

   • Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío
     • Contiene dos operaciones
       • A partir de una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto)
       • Una operación externa (llamada producto por un escalar) definida entre dicho conjunto y un cuerpo matematico

2. Propiedades/ axiomas de un espacio vectorial

   • Axiomas de la Multiplicación por Escalar
     • (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
       • Si x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V
     • (primera ley distributiva)
       • Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
     • (segunda ley distributiva)
       • Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx
     • (ley asociativa de la multiplicación por escalares)
       • Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x
   • Axiomas de la suma
     • Ley Clausurativa (cerradura suma)
       • Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V
     • (ley asociativa de la suma de vectores)
       • Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z)
     • (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
       • Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x
     • (–x se llama inverso aditivo de x)
       • Si x ∈ V, existe un vector –x en ∈ V tal que x + (–x) = 0
     • (ley conmutativa de la suma de vectores)
       • Si x y y están en V, entonces x + y = y + x

3. Espacio vectorial trivial

   • Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.

4. Conceptualización

   • Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones de suma vectorial y multiplicación por escalar y, algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa, conmutativa y otras

5. Combinaciones lineales

   • Por definición los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial dado.

6. Notación

   • Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K se distinguen:
     • Los elementos de K como: a, b, c, se llaman escalares
     • Los elementos de V se llaman vectores (u, v, w)

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