Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

1. ¿Qué es?

   • Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa.

2. Propiedades fundamentales

   • Sean u,v, w vectores del conjunto K
     • Asociativa (+)"suma":
       • (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w ∈ K
     • Conmutativa
       • u + v = v + u, u, v, ∈ K .
     • Elemento neutro
       • v+0= 0+v=v, v ∈ K .
     • Elemento opuesto
       • v+(-v)=(-v)+v=0, v ∈ K.
     • Distribuitiva I
       • a · (u + v) = a · u + a · v, a ∈ R, u, v ∈ K
     • Distribuitiva II
       • (a + b) · v = a · v + b · v, a, b ∈ R, v ∈ K .
     • Asociativa (·) "Producto escalar"
       • a · (b · v) = (ab) · v, a, b ∈ R, v ∈ K
     • Elemento unidad
       • 1 · v = v, v ∈ V .

3. Ejemplos

   • Vectores en R2
     • Dimensión del espacio vectorial será 2
       • (R2,+,·)
         • Que significa que este es el conjunto de los vectores de R2, con la suma y el producto escalar
           • Ejemplo: sea (a,b) un vector de R2, el cual tiene dos componentes.
   • Vectores en R3
     • Dimensión del espacio vectorial será 3
       • (R3,+,·)
         • Que son todos los vectores que se pueden definir en R3
   • Matrices
     • 2x2
       • Dimensión del espacio vectorial será 4
     • 3x3
       • Dimensión del espacio vectorial será 9
   • Polinomios
     • P1(x)+,·)
       • Es el espacio vectorial de los polinomios de primer grado, con la suma y con el producto escalar
         • Dimensión del espacio vectorial será 2
     • P2(x)+,·)
       • Es el espacio vectorial de los polinomios de segundo grado, con la suma y con el producto escalar
         • Dimensión del espacio vectorial será 3
     • P3(x)+,·)
       • Es el espacio vectorial de los polinomios de tercer grado, con la suma y con el producto escalar
         • Dimensión del espacio vectorial será 4