Lineární algebra II

Lineární algebra II

1. Skalární součin

   • Zobrazení V^2 -> R 1) <x,x> <= 0 2 3) linearita v 1. složce 4) symetrie
   • komplexní: 1-3) jako reálný 4) <x, y> = kompl. sruž. <y, x>
   • Norma indukovaná skalárním součinem
     • Norma
       • p - norma
       • Metrika
     • Tvrzení: je normou
     • Rovnoběžníkové pravidlo
   • Ortogonalita
     • Pythagorova věta
     • Ortogonální systém
       • Věta o LNZ
       • Fourierovy koeficienty
         • Tvrzení
           • <x, y> = suma(<x, zj><y, zj>kompl. sruž.)
       • Gram-Schmidtova ortogonalizace
         • Důsledky: bázi lze (rozšířit a) ortogonalizovat
       • Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost
       • Ortonormální báze
         • 3 podmínky
     • Ortogonální doplněk
       • Věta o vlastnostech
       • Věta o vlastnostech o. doplňku podprostoru
       • Ortogonální doplněk v R^n
         • doplněk R(A) = Ker(A)
         • 3 důsledky
           • (1) Ker(ATA) = Ker(A), (2) R(ATA) = R(A), (3) rank(ATA) = rank(A).
     • Ortogonální projekce
       • Věta
       • Projekce do sloupcového prostoru
       • Projekce do ortogonálního doplňku
       • Metoda nejmenších čtverců
     • Ortogonální matice
       • NPJE
       • Součin
       • Hauseholderova matice
         • otočení vektoru kolem přímky (2*(aaT/aTa)-I)
       • Věta o vlastnostech
       • Věta o ortogon. matici LZ
   • Cauchy-Schwarzova nerovnost
   • Trojúhelníková nerovnost

2. Determinanty

   • det(A) = suma p z Sn(sgn(p)*soucin (a i, p(i)))
   • det(A) = det(AT)
   • Řádková linearita
     • důsledek
   • Vliv řádkových operací
   • Determinant regulární matice
   • Determinant součinu
     • důsledek
   • Laplaceův rozvoj
   • Cramerovo pravidlo
   • Objem rovnoběžnostěnu
   • Adjungovaná matice

3. Vlastní čísla

   • Ax = lambda x
   • Charakterizace vl. čísel a vektorů
   • Věta o vlastnostech
   • Algebraická a geometrická násobnost
   • Spektrum matice
     • množina vlastních čísel (bez násobností) spektrální poloměr = max. abs. hodnota z vl. čísel
   • Vlastní čísla a det, trace
   • Věta o komplex. sdruž. vlastních číslech
   • Matice společnice
     • Věta o vlastních číslech
   • Charakteristický polynom
     • Věta o koř. charakt. polynomu
     • Cayleyho - Hamitonova věta
       • Matice je sama koženem svého charakteristického polynomu
   • Věta o vlastních číslech podobných matic
     • Podobnost
       • A, B jsou podobné, když A = SBS-1
       • Diagonalizovatelnost
         • Diagonalizovatelná matice má bázi z vl. vektorů
         • Mocnění matice
         • Spektrální rozklad symetrické matice
           • Courant - Fischer
             • Největší a nejmenší vlastní číslo symetrické matice je max/min (xTAx)
   • Vektory různých vl. čísel jsou LNZ
   • AB a BA mají stejná vl. č.
   • Jordanova normální forma
     • Jordanova buňka
     • Věta
     • Tvrzení o počtu buněk
   • Vlastní čísla hermitovské matice
   • Výpočet vlastních čísel
     • Gerschgorinovy disky
     • Mocninná metoda

4. Positivní definitnost

   • Positivní semidefinitnost
     • Odmocnina z matice
   • Vlastnosti positivně definitních matic
   • Ekvivalentní podmínky
   • Testování pos. definitnosti
     • Choleského rozklad
     • Rekurentní vztah
     • upravená GE
     • Sylvestrovo kritérium
   • Skalární součin a positivní definitnost

5. Bilin. a kvadratické formy

   • Bilineární forma
     • Matice
       • Věta + důsledky
       • Věta o matici při změně báze
   • Kvadratická forma
     • Sylvestrův zákon setrvačnosti
       • Signatura matice
       • 2 důsledky