Resumos de matemática

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Conjuntos Numéricos

Revisão matemática

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.

Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros

Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.

Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Subconjuntos dos Números Racionais

Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.

Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.

Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.

Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.

Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

Subconjuntos dos Números Reais

R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

Propriedades dos Conjuntos Numéricos

Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).

O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).

O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).

Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

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critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.

2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:

1800 é divisível por 4, pois termina em 00.

4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.

2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.

3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).

2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).

3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).

4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:

1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.

2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.

4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:

1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.

2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:

1) 87549

Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22

Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11

Si-Sp = 22-11 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087

Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10

Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21

Si-Sp = 10-21

Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:

1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).

2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).

3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:

1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).

2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).

3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:

200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

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Números primos

Os Números Primos são números naturais maiores do que 1 que possuem somente dois divisores, ou seja, são divisíveis por 1 e por ele mesmo.

O Teorema Fundamental da Aritmética faz parte da "Teoria dos Números" e garante que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como o produto de números primos.

Para escrever um número como produto de números primos ou "fatores primos", utilizamos um processo de decomposição dos números chamado de fatoração.

Números Primos entre 1 e 1000

Fatoração

A fatoração corresponde a decomposição dos números em fatores primos, por exemplo:

3 = 3 x 1

4 = 2 x 2

8 = 2 x 2 x 2

9 = 3 x 3

Crivo de Eratóstenes

Eratóstenes (285-194 a.C.) foi um matemático grego que descobriu um esquema para encontrar os números primos que ficou conhecido como "Crivo de Eratóstenes".

Esse esquema é representado por meio de uma tabela composta de números naturais. Assim, o método utilizado é primeiramente encontrar o primeiro número primo da tabela, marcar todos os múltiplos desse número, e repetir essa operação até o último.