Integración - created from Mind Map

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Antiderivación

Integrales indefinidas

Reglas para integrar funciones elementales

Normas algebraicas

Aplicaciones

Referencias bibliográficas

Definición

Propiedadad fudamental de la Antiderivada

Proceso por el que se se deriva la antiderivada de una función

es decir

Ejemplos

Es el proceso opuesto a la derivación,

con el que se obtiene

El conjunto de todas las funciones de una derivada específica

F(x)=2/3x^6 es una antiderivada de la función F’(x)=4x^5

F(x)= 4x^3 es una antiderivada de la función F’(x)=12x^2

Por la antiderivación, derivando, ⅔x^6 tenemos 4x^5, aplicando las reglas. Obtenemos la función original 4x^5 derivando la antiderivada

F(x)= 4x^3 + 4 o F(x)= 4x^3 -23 también pueden ser antiderivadas de la misma función F’(x)

Ya que

Sabiendo que la derivada de una constante es igual a 0, al derivar estas funciones se obtiene 12x^2

Explica o demuestra que no existe una única antiderivada para una cierta función original

Ejemplo

Se debe a

La suma o resta de constantes que no alteran el hecho que una antiderivada siga siendo propiamente una antiderivada por las propiedades estudiadas.

Por lo tanto

Se pueden hallar infinitas antiderivadas para una función específica.

Partiendo de

Una familia de antiderivadas: G(x)=F(x) + C, en donde C es una constante

Entonces

3x^5, 3x^5-60, 3x^5+125, 3x^5-1070 son una familia de antiderivadas de la función F’(x)=15x^4

Son el conjunto de infinitas primitivas o a la familia de todas las antiderivadas que puede tener una función específica f

Ejemplos

Representada por

La ecuación ∫ f(x) dx= F(x) + C, donde F es la función de la antiderivada y C es una constante que puede adquirir cualquier valor.

F(x)= ∫ 3x dx= 3/2 x^2 + C

F(x)= ∫ 8/14x dx= 8/14 ln |x| + C

Regla de la constante

Regla de la potencia

Regla logarítmica

Regla exponencial

Ejemplos

∫ k dx = Kx + C → para K constante

∫ x^n dx = [x^(n + 1)]/ (n + 1) + C → para todo n ≠ -1

∫ 1/x dx = ln |x| + C → para todo x ≠ 0

∫ e^kx dx = 1/k (e^kx) + C → para la constante K ≠ 0

∫ x^-1 dx= ∫ 1/x dx = ln |x| + C → aquí se aplica la regla logarítmica porque n= -1, de modo contrario se aplicaría la regla de la potencia

∫ e^5x dx= (e^5x)/ 5 + C → aquí se aplica la regla exponencial

Regla del factor constante

Regla de la suma algebraica

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx , siendo k una constante

En la multiplicación de la integral de una constante por una función, se debe extraer la constante y multiplicarla por la integral de dicha función.

Ejemplo

∫ 18x dx = 18 ∫ x dx = 18 x2/2 + C = 9x2+ C

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Para integrar la suma o resta de dos funciones, se debe integrar cada una por separado y se suman o se restan los resultados según sea el caso

Ejemplo

Ejemplo: ∫ (x+18) dx = ∫ x dx + ∫ 18 dx = x2/2 + 8x + C

Aprender a integrar las funciones correctamente es muy importante ya que son cuentas que no se quedan solo en el papel, pues son útiles para resolver problemas del día a día en el campo económico. Se debe resolver la ecuación dada pero sujeta a ciertas condiciones.

Luis en su panadería, entre el costo de los insumos, el sueldo de sus empleados por las horas trabajadas, etc. se da cuenta que cuando se producen q unidades de canillas el costo marginal de producir cada una son 2q2-32q+60bs. Si producir las primeras 3 canillas le costó 200 bs, ¿cuánto le costará producir 10 canillas?

Costo marginal = C´(q)= 2q2-32q+60bs → derivada de la función C(q) Costo C(q) = ∫(2q2-32q+600) dq = 2/3q3-16q2+60q+K → integral de la función C´(q) C(3)=200 bs, entonces 200= 2/3(3)3 - 16(3)2 + 60(3) + K= 200= 18 - 144 + 180 + K 200 - 54= K K=146

Sustituyendo k tenemos que C(q)=2/3 q3- 16q2 + 60q +146 Producir 10 canillas sería C(10)=2/3 (10)3 - 16(10)2 + 60(10) + 146 C(10)= -187,33 Bs.

Antiderivadas - Definición de Antiderivada - Teorema de la Constante (Enclavar)