Leis de Morgan

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Leis de De Morgan (em homenagem a Augustus De Morgan)

> As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas pelos conectivos “e” e “ou”.

Por enquanto, assuma que proposições são frases (depois definiremos formalmente este conceito).

Um exemplo de proposição é o seguinte:

Guilherme Neves é torcedor do Náutico.

Toda proposição pode ser classificada em V ou F, mas não os dois. Como Guilherme realmente é torcedor do Náutico, então a frase acima é verdadeira.

Guilherme Neves é torcedor do Náutico. (V)

Pois bem, existe um operador lógico chamado de modificador.

A principal função do modificador é negar a proposição dada.

Por exemplo, a negação da proposição acima é a seguinte: Guilherme Neves não é torcedor do Náutico.

Como a proposição original era verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa.

Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. (F)

O operador modificador serve para negar a proposição dada.

Se uma proposição é verdadeira, a sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, a sua negação será verdadeira.

Vejamos mais um exemplo.

Proposição dada:

O Estratégia não está sediado em Recife.

Esta é uma proposição verdadeira, já que o Estratégia está sediado em São Paulo.

Como esta frase é verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa.

E qual é a negação da proposição acima?

O Estratégia está sediado em Recife.

As Leis de De Morgan explicam como negar proposições compostas pelos conectivos “e” e “ou”.

Você saberia, por exemplo, negar a proposição “Vou à festa ou não me chamo Guilherme.” ?

Bom, a negação de “Vou à festa” é “Não vou à festa”. Anegação de “não me chamo Guilherme” é “me chamoGuilherme”.

Afirmação: Vou à festa ou não me chamo Guilherme.

Negação: Não vou à festa e me chamo Guilherme

É agora que entra a primeira lei de De Morgan.

Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO “OU” PELO “E”.

Vamos fazer mais um exemplo?

Negue a proposição “O rato não chia ou o gato mia”.

Afirmação: O rato não chia

Devemos negar os dois componentes, para começar. Afirmação Negação Orato não chia Orato chia Depois é só trocar o conectivo para “e”. Afirmação Negação Orato não chia Orato chia ou ou e o gato mia Ogato não mia o gato mia Ogato não mia- Guilherme, você falou em LEIS de De Morgan, e não LEI de De Morgan? Qual é a outra? Caríssimo, se você aprendeu a primeira lei, você praticamente já aprendeu a outra. A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo “ou”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “e”. Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “ou”. Vamos lá? Negue a proposição “Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell não era brasileiro”. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Afirmação Negação Lula foi presidente do Brasil Lula não foi presidente do Brasil e ou Bertrand Russel não era brasileiro. Bertrand Russell era brasileiro. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, negue os componentes e troque o conectivo pelo “e”. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, negue os componentes e troque o conectivo pelo “ou”. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 7 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 Por enquanto, não vamos aprender nenhum símbolo lógico, ok? Isto fica para as próximas aulas. Frequentemente em provas, o conectivo “e” vem camuflado. Observe os exemplos:- A proposição “Nem vou à praia nem estudo” é equivalente a “Não vou à praia e não estudo”.- A proposição “Fui à praia, mas não bebi” é equivalente a “Fui à praia e não bebi”. (CESPE 2018/Polícia Federal/Escrivão) Julgue os próximos itens, considerando a proposição P a seguir. P: “O bom jornalista não faz reportagens em benefício próprio nem deixa de fazer aquela que prejudique seus interesses”. A negação da proposição P está corretamente expressa por: “O bom jornalista faz reportagens em benefício próprio e deixa de fazer aquela que não prejudique seus interesses”. Resolução A proposição P é equivalente a “O bom jornalista não faz reportagens em benefício próprio e não deixa de fazer aquela que prejudique seus interesses”. O item está errado, pois além de negar os dois componentes, deveríamos trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. A correta negação é “O bom jornalista faz reportagens em benefício próprio ou deixa de fazer aquela que não prejudique seus interesses”. Gabarito: Errado Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 8 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 2. LISTA DE QUESTÕESDECONCURSOSANTERIORES 1. (FCC2017/DPE-RS) Considere a afirmação: Ontem trovejou e não choveu. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) se ontem não trovejou, então não choveu. (B) ontem trovejou e choveu. (C) ontem não trovejou ou não choveu. (D) ontem não trovejou ou choveu. (E) se ontem choveu, então trovejou. 2. (FCC 2016/METRO-SP) Edson não gosta de frango ou Marilda gosta de feijão e gosta de arroz. Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é (A) Marilda não gosta de arroz ou não gosta de feijão e Edson gosta de frango. (B) Edson gosta de frango e Marilda não gosta de feijão e não gosta de arroz. (C) Se Edson não gosta de frango, então Marilda gosta de feijão e arroz. (D) Se Marilda não gosta de feijão e arroz, então Edson gosta de frango. (E) Edson gosta de arroz e Marilda gosta de frango e feijão. 3. (FCC 2016/ELETROBRAS-ELETROSUL) Anegação lógica da afirmação: “Corro bastante e não tomo chuva” é (A) Não corro bastante e tomo chuva. (B) Tomo chuva ou não corro bastante. (C) Tomo chuva porque não corro bastante. (D) Se eu corro bastante, então não tomo chuva. (E) Corro bastante ou tomo chuva. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 9 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 4. (FCC 2016/CREMESP) Marcos gosta de comer arroz com feijão e Luiza gosta de comer macarrão. A negação lógica dessa afirmação é (A) Marcos gosta de comer arroz com feijão ou Luiza não gosta de comer macarrão. (B) Marcos não gosta de comer macarrão e Luiza não gosta de comer arroz com feijão. (C) Marcos não gosta de comer arroz com feijão e Luiza gosta de comer macarrão. (D) Marcos não gosta de comer arroz com feijão ou Luiza não gosta de comer macarrão. (E) Marcos não gosta de comer arroz com feijão ou Luiza gosta de comer macarrão. 5. (FCC 2015/DPE-RR) Maria disse: Gerusa estava doente e não foi trabalhar. Sabe-se que Maria mentiu. Sendo assim, é correto afirmar que (A) Gerusa não estava doente, mas não foi trabalhar. (B) Gerusa não estava doente e não foi trabalhar. (C) Gerusa não estava doente ou foi trabalhar. (D) se Gerusa foi trabalhar, então não estava doente. (E) Gerusa estava doente ou foi trabalhar. 6. (FCC 2015/TCE-CE) Um casal está no supermercado fazendo compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos comprar macarrão ou arroz integral”. A esposa negando a afirmação diz: (A) Se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (B) Não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral. (C) Se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (D) Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral. (E) Se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 10 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 7. (FCC 2015/TCE-CE) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. 8. (FCC 2014/AL-PE) Anegação da frase “Ele não é artista, nem jogador de futebol” é equivalente a (A) ele é artista ou jogador de futebol. (B) ele é artista ou não é jogador de futebol. (C) não é certo que ele seja artista e jogador de futebol. (D) ele é artista e jogador de futebol. (E) ele não é artista ou não é jogador de futebol. 9. (FCC 2013/PGE-BA) Anegação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é: (A) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano. (B) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista. (C) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano. (D) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista. (E) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 11 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 10. GABARITOSEMCOMENTÁRIO 01. D 02. A 03. B 04. D 05. C 06. D 07. A 08. A 09. C Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 12 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 11. LISTADEQUESTÕESDECONCURSOSANTERIORESCOMCOMENTÁRIOS 1. (FCC 2017/DPE-RS) Considere a afirmação: Ontem trovejou e não choveu. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) se ontem não trovejou, então não choveu. (B) ontem trovejou e choveu. (C) ontem não trovejou ou não choveu. (D) ontem não trovejou ou choveu. (E) se ontem choveu, então trovejou. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Gabarito: D Ontemtrovejou Ontem nãotrovejou e ou não choveu. choveu 2. (FCC 2016/METRO-SP) Edson não gosta de frango ou Marilda gosta de feijão e gosta de arroz. Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é (A) Marilda não gosta de arroz ou não gosta de feijão e Edson gosta de frango. (B) Edson gosta de frango e Marilda não gosta de feijão e não gosta de arroz. (C) Se Edson não gosta de frango, então Marilda gosta de feijão e arroz. (D) Se Marilda não gosta de feijão e arroz, então Edson gosta de frango. (E) Edson gosta de arroz e Marilda gosta de frango e feijão. Resolução Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 13 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 Basta aplicar as leis de DeMorgan. Vamos negar os componentes e trocar os conectivos “e” por “ou” e “ou” por “e”. Afirmação Negação Edson não gostade frango Edson gosta de frango ou e Marilda gosta de feijão e Marilda não gosta de feijão ou gosta de arroz. não gosta de arroz. De antemão, já aprenda que os conectivos “e” e “ou” gozam da comutatividade. Isto quer dizer que você pode trocar a ordem das frases e o sentido não será alterado. Gabarito: A 3. (FCC 2016/ELETROBRAS-ELETROSUL) Anegação lógica da afirmação: “Corro bastante e não tomo chuva” é (A) Não corro bastante e tomo chuva. (B) Tomo chuva ou não corro bastante. (C) Tomo chuva porque não corro bastante. (D) Se eu corro bastante, então não tomo chuva. (E) Corro bastante ou tomo chuva. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Corro bastante Não corro bastante e ou não tomochuva. Tomochuva Lembre-se que o conectivo “ou” é comutativo, ou seja, não importa a ordem das frases. Gabarito: B Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 14 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 4. (FCC 2016/CREMESP) Marcos gosta de comer arroz com feijão e Luiza gosta de comer macarrão. A negação lógica dessa afirmação é (A) Marcos gosta de comer arroz com feijão ou Luiza não gosta de comer macarrão. (B) Marcos não gosta de comer macarrão e Luiza não gosta de comer arroz com feijão. (C) Marcos não gosta de comer arroz com feijão e Luiza gosta de comer macarrão. (D) Marcos não gosta de comer arroz com feijão ou Luiza não gosta de comer macarrão. (E) Marcos não gosta de comer arroz com feijão ou Luiza gosta de comer macarrão. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Gabarito: D Marcos gosta de comer arroz comfeijão Marcos não gosta de comer arroz com feijão e ou Luiza gosta de comer macarrão. Luiza não gosta de comer macarrão. 5. (FCC 2015/DPE-RR) Maria disse: Gerusa estava doente e não foi trabalhar. Sabe-se que Maria mentiu. Sendo assim, é correto afirmar que (A) Gerusa não estava doente, mas não foi trabalhar. (B) Gerusa não estava doente e não foi trabalhar. (C) Gerusa não estava doente ou foi trabalhar. (D) se Gerusa foi trabalhar, então não estava doente. (E) Gerusa estava doente ou foi trabalhar. Resolução Quando uma questão informa que determinada proposição é falsa (já que Maria mentiu) e pede umaproposição verdadeira, temos que negar a proposição dada. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 15 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Gabarito: C Gerusa estava doente Gerusa não estava doente e ou não foi trabalhar. foi trabalhar. 6. (FCC 2015/TCE-CE) Um casal está no supermercado fazendo compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos comprar macarrão ou arroz integral”. A esposa negando a afirmação diz: (A) Se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (B) Não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral. (C) Se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral. (D) Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral. (E) Se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “e”. Afirmação Vamoscomprar macarrão ou vamos integral. comprar arroz Negação Gabarito: D Não vamoscomprar macarrão e não vamos comprar arroz integral. 7. (FCC 2015/TCE-CE) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 16 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Gabarito: A Vou à academia todos os dias da semana Não vou à academia todos os dias da semana e ou corro três dias na semana. não corro três dias na semana. 8. (FCC 2014/AL-PE) Anegação da frase “Ele não é artista, nem jogador de futebol” é equivalente a (A) ele é artista ou jogador de futebol. (B) ele é artista ou não é jogador de futebol. (C) não é certo que ele seja artista e jogador de futebol. (D) ele é artista e jogador de futebol. (E) ele não é artista ou não é jogador de futebol. Resolução Lembre-se que “nem” é a mesma coisa que “e não”. Desta forma, a proposição dada pode ser reescrita como “Ele não é artista e ele não é jogador de futebol. Vamos agora aplicar a lei de DeMorgan para negar a proposição. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por “ou”. Afirmação Negação Gabarito: A Ele não é artista Ele é artista e ou ele não é jogador de futebol. ele é jogador de futebol. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Prefeitura de Recife (Analista - Nível Superior) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br Matemática e Raciocínio Lógico para Prefeitura do Recife www.estrategiaconcursos.com.br 17 00000000000 - DEMO 18Prof. Guilherme Neves Aula 00 Brunno Lima, Guilherme Neves Aula 00 9. (FCC 2013/PGE-BA) Anegação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é: (A) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano. (B) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista. (C) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano. (D) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista. (E) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Afirmação Negação Gabarito: C Ruy Barbosa é abolicionista Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas é baiano. ou Senador Dantas não é baiano.