Introducción percepción espacial.

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Antecedentes históricos y aplicaciones de la materia:

Los sistemas de representación son objeto de estudio en la geometría

descriptiva, la cual se fundamenta en la geometría proyectiva.

En el diccionario de la Real Academia se encuentran las siguientes

definiciones, que permiten acercarse a la definición de geometría:

Geometría: Medida del espacio ocupado por un cuerpo.

Dimensión: Longitud, área o volumen de una línea, superficie o un

cuerpo, respectivamente.

Extensión de un objeto en una dirección determinada.

Medir: Es comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el

fin de averiguar cuantas veces la primera contiene la

segunda.

Así, por consiguiente:

- La medida de un cuerpo es su volumen y tiene tres dimensiones.

- La medida de una superficie es su área y tiene dos dimensiones.

- La medida de una línea es su longitud y tiene una dimensión.

- La medida de un ángulo es su graduación y tiene una dimensión.

No obstante, esta definición de geometría resulta insuficiente para abarcar

los diferentes campos de estudio que actualmente tiene, como son los

espacios abstractos y ciertas partes de la geometría que están muy

relacionadas con otras partes de las matemáticas, por ejemplo la geometría

algebraica con el álgebra.

Para realizar una mejor aproximación de lo que se entiende por

geometría, se recurre a Puig Adam, que da la siguiente definición: La

geometría estudia relaciones que ligan directa o indirectamente los

elementos (puntos, rectas, planos) constitutivos de las figuras geométricas.

La geometría se desarrolla siguiendo el proceso de razonamiento, que

con gran claridad, expresa Puig Adam como sigue:

Enunciar los conceptos primarios - punto, recta, plano -, sin definirlos,

ya que no es posible referirlos a otros más sencillos, (se puede dar una

descripción más o menos aproximada).

Admitir ciertas propiedades que relacionan estos conceptos, sin

demostrarlos, es decir, enunciar los axiomas correspondientes.

Deducir lógicamente los restantes teoremas o propiedades

geométricas, a partir de conceptos primarios y axiomas.

La importancia del método se debe a que es el fundamento que ha

permitido desarrollar y estructurar la geometría tal y como actualmente se la

conoce.

La trascendencia que tiene Euclides y su obra ‘Elementos de Geometría’,

se debe a que los conocimientos de la época los estructuró y ordenó

siguiendo un método similar al expuesto. No fue perfecto, y el tiempo lo ha

mejorado, pero su validez perdura después de 23 siglos.

Euclides enunció sus cinco axiomas o postulados de carácter geométrico,

que por su importancia histórica se transcriben, como sigue: “Postúlese: 1) que por cualquier punto se pueda trazar una recta que

pasa por otro punto cualquiera; 2) que toda recta limitada pueda prolongarse

indefinidamente en la misma dirección; 3) que con un centro dado y un radio

dado se pueda trazar un círculo; 4) que todos los ángulos rectos sean iguales

entre sí, y 5) que si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos

de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas

indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos

rectos.”

El quinto postulado es el que se denomina de Euclides y ha tenido gran

trascendencia histórica en el desarrollo de la geometría. Expresado de otro

modo, dice: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a

dicha recta, y sólo una.”

Actualmente hay distintos sistemas de axiomas que dan lugar a que la

geometría se desarrolle de formas diferentes, en consecuencia, se puede

hablar de geometría euclídea o métrica, geometría hiperbólica, geometría de

Riemann.

Dentro del sistema de axiomas que da lugar a la geometría euclídea o

métrica, se estudian diferentes transformaciones, como las métricas, que dan

lugar a la geometría métrica; las proyectivas, a la geometría proyectiva; las

afinidades, a la geometría afín, etc.

Las ramas de la geometría que afectan al estudio de los sistemas de

representación son: la geometría métrica o euclídea, la geometría proyectiva

y la geometría descriptiva, de las cuales se va a dar una somera descripción.

La geometría euclídea: se puede definir en un sentido estricto como la

que se deduce de los axiomas de Euclides (completados), que trata

cuestiones del plano y del espacio, y comprende todas las nociones que son

comunes en estudios elementales de geometría. En un sentido más amplio,

estudia, en un espacio euclídeo de dimensión cualquiera dotado de una

noción de distancia, cuestiones relativas a figuras que desde un punto de

vista analítico son de primer y segundo grado, y de las figuras que se

construyen con las anteriores.

Especificando un poco más, conocidos el plano, el espacio y los axiomas

de partida, la geometría métrica estudia desde el punto de vista de la medida,

las figuras geométricas planas y del espacio, dicho de otra forma, las

características geométricas de las figuras planas y espaciales (ángulos,

longitudes, superficies y volúmenes de polígonos, curvas, poliedros, así como

las ideas de potencia y tangencia) y las siguientes transformaciones:

desplazamientos (traslación, giro y simetría), homotecia y semejanza, e

inversión. Es decir, transformaciones en las que los puntos de la figura

homóloga con respecto a la original están definidos por medio de una relación

en la que intervienen ángulos o distancias, y en los que se analizan los

elementos geométricos que no varían en dicha transformación, a los que se

llama invariantes.

La geometría proyectiva trata del estudio de las propiedades comunes a

las diversas representaciones de una misma figura plana y que resulten

invariantes mediante la proyección de la figura desde un punto sobre un

nuevo plano. Surge de los estudios de perspectiva de los pintores del

Renacimiento. Prescinde del concepto de medida.

Una transformación proyectiva estudia los elementos que permanecen

invariantes en una figura al aplicar las operaciones de proyectar y cortar.

Básicamente, son objeto de estudio la correlación, la homografía y la

polaridad. Las transformaciones proyectivas son más generales que las

definidas en la geometría métrica y están englobadas estas últimas, excepto

la inversión, como casos particulares de aquellas.

Correlación, es una proyectividad en la que los elementos que se

corresponden son de distinta especie: punto-recta, punto-plano (como en la ley

de dualidad). Homografía, cuando se corresponden punto a punto, recta a recta

y plano a plano, de tal modo que a dos elementos incidentes de una figura

correspondan elementos incidentes en la otra.

Obsérvese que las curvas cónicas se pueden estudiar aquí como

consecuencia de transformaciones proyectivas de la circunferencia. Del

mismo modo, cualquier triángulo se puede obtener por homología partiendo

de un triángulo, cualquier cuadrilátero a partir de un cuadrado,...

La geometría descriptiva trata de la resolución de problemas

tridimensionales, mediante proyecciones realizadas sobre un plano. Se puede

considerar que la geometría descriptiva está fundamentada en la geometría

proyectiva, aplicando las nociones que en ella se desarrollan.

En geometría descriptiva todos los sistemas de representación, tienen como objetivo, representar en un objeto bidimensional como lo es una hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio.

Reversibilidad: a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representación bidimensional, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.

Sistemas de Proyección:

Plano del cuadro o de proyección: Proyección de los objetos tridimensionales, en un plano bidimensional.

Rayos proyectantes: son los rayos que partiendo del punto de proyección y pasando por los puntos del cuerpo inducen sobre el plano del cuadrado.

Plano del cuadrado: también denominado cuadro de proyección, es aquel donde hacen intersección los rayos proyectantes que van formando la proyección de la figura o cuerpo. Si el origen de los rayos proyectantes es un punto infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a lo que se denomina proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua.

Tipos y Características