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DETERMINANTES

• TRABALHO COMPLEMENTAR DE ÁLGEBRA
• ALUNAS: BEATRIZ REIS, GIOVANNA SABER, ISABELA LOURENÇO
• TURMA: M21
• PROFESSOR : VICTOR

INTRODUÇÃO

• O QUE SÃO DETERMINANTES?
• DETERMINANTES SÃO VALORES ASSOCIADOS A MATRIZES QUADRADAS ( AQUELAS ONDE O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO NÚMERO DE COLUNAS EX. 3X3 )
• COMO CALCULAMOS ESSES VALORES?
• EXISTEM VÁRIAS FORMAS DIFERENTES DE VOCÊ CALCULAR O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ, O QUE IREMOS DESCOBRIR NOS PRÓXIMOS SLIDES

CÁLCULO DE DETERMINANTE

• PRIMEIRAMENTE VOCÊ PRECISA VER QUAL A ORDEM DESSA MATRIZ
• CASO ELA SEJA DE SEGUNDA ORDEM, OU SEJA, 2X2 VOCÊ TERÁ DE SUBTRAIR OS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL SECUNDÁRIA:, COMO MOSTRA NA IMAGEM
• ASSIM, O DETERMINANTE FICA: ( -12) - 2 = -14
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• Pie de imagen: MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

CÁLCULO DE DETERMINANTE

• CASO A MATRIZ NÃO SEJA DE SEGUNDA ORDEM, SEJA DE TERCEIRA ORDEM, POR EXEMPLO, A CONTA PARA ENCONTRARMOS O DETERMINANTE É DIFERENTE DA ANTERIOR.
• AQUI, USAREMOS UMA REGRA: REGRA DE SARRUS
• ESSA REGRA DIZ PARA REPETIRMOS AS 2 PRIMEIRAS COLUNAS E AÍ SIM MULTIPLICARMOS OS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL COM OS ELEMENTOS DA DIAGONAL SECUNDÁRIA
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• Pie de imagen: DIAGONAL PRINCIPAL: (1X5X3 + 3X1X2 + 0X2X1) = (15 + 6 + 0) = 21 DIAGONAL SECUNDÁRIA: (0X5X2 + 1X1X1 + 3X2X3) = (0 + 1 + 18) = 19 DETERMINANTE = 21 - 19 = 2

CÁLCULO DE DETERMINANTE - REGRA DE CHIÓ

• REGRA DE CHIÓ
• É UMA REGRA QUE NOS FACILITA FAZER O CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUE SEJA DE ORDEM 2 PARA CIMA.
• PRIMEIRAMENTE, A MATRIZ PRECISA TER UM DE SEUS ELEMENTOS IGUAL A 1
• DEPOIS, "ISOLAMOS" UM ELEMENTO, RETIRANDO A COLUNA E A LINHA DE ONDE SE ENCONTRA.
• ASSIM, PEGAMOS O QUE SOBROU E SUBTRAÍMOS DA MULTIPLICAÇÃO COM OS ELEMENTOS QUE NÃO FORAM RETIRADOS, FORMANDO UMA ESPÉCIE DE MARGEM ( POR EXEMPLO NA IMAGEM, VOCÊ PEGA O ELEMENTO 5 E MULTIPLICA PELA SUA "MARGEM", QUE É O 1 LÁ EM CIMA E O 2 QUE SE LOCALIZA APÓS O ELEMENTO CORTADO 1)
• DEPOIS, MULTIPLICAMOS O DETERMINANTE ENCONTRADO POR (-1) elevado a i+j (ONDE O i É A LINHA E O j A COLUNA RETIRADAS) PELA MATRIZ ENCONTRADA APÓS A FAZER TODO ESSE PROCESSO
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• Pie de imagen: ELEMENTO RETIRADO = a22 OU SEJA (-1) elevado a 2+2 = +1 ESSE RESULTADO NÓS MULTIPLICAMOS PELA MATRIZ ENCONTRADA -- COMO MOSTRA A FIGURA

CÁLCULO DE DETERMINANTE

• MENOR COMPLEMENTAR
• Menor complementar é um determinante tirado de uma matriz quadrada, sendo que para calculá-lo é preciso eliminar uma linha e uma coluna da matriz, portanto, podemos concluir que cada elemento de uma matriz quadrada possui um menor complementar.
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CÁLCULO DE DETERMINANTE

• COFATOR
• O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:
• Aij = (-1) i + j. Dij
• Onde
• Aij: cofator de um elemento aij
• i: linha onde se encontra o elemento
• j: coluna onde se encontra o elemento
• Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j -- MENOR COMPLEMENTAR
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CÁLCULO DE DETERMINANTE - TEOREMA DE LAPLACE

• TEOREMA DE LAPLACE
• O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.
• NÓS SOMAMOS OS ELEMENTOS DE UMA FILA QUALQUER PELOS RESPECTIVOS COFATORES
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

• PRIMEIRA PROPRIEDADE: SE A MATRIZ TEM UMA FILA NULA, O DETERMINANTE VAI SER IGUAL A ZERO
• SEGUNDA PROPRIEDADE: SE A MATRIZ POSSUIR FILAS IGUAIS, O DETERMINANTE VAI SER IGUAL A ZERO
• TERCEIRA PROPRIEDADE: SE A MATRIZ POSSUIR FILAS PROPORCIONAIS, O DETERMINANTE VAI SER IGUAL A ZERO
• QUARTA PROPRIEDADE: SE UMA FILA DA MATRIZ FOR MULTIPLICADA POR UM NÚMERO REAL, O DETERMINANTE DESSA MATRIZ MULTIPLICADA VAI SER N VEZES O DETERMINANTE DA OUTRA ( N = NÚMERO REAL MULTIPLICADO)
• QUINTA PROPRIEDADE: SE UMA MATRIZ A DE ORDEM N É MULTIPLICADA POR UM NÚMERO REAL K, SEU DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR K elevado a n
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• Pie de imagen: EXEMPLO DA SEGUNDA PROPRIEDADE

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

• SEXTA PROPRIEDADE: O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ VAI SER IGUAL AO DETERMINANTE DE SUA TRANSPOSTA
• SÉTIMA PROPRIEDADE: SE VOCÊ TROCAR AS FILAS DE POSIÇÃO, O DETERMINANTE DA MATRIZ COM AS FILAS TROCADAS VAI SER O NEGATIVO DA MATRIZ ORIGINAL
• OITAVA PROPRIEDADE: EM UMA MATRIZ TRIANGULAR, O DETERMINANTE VAI SER A MULTIPLICAÇÃO DOS ELEMENTOS QUE ESTÃO NA DIAGONAL PRINCIPAL
• NONA PROPRIEDADE: O DETERMINANTE DO PRODUTO ENTRE 2 MATRIZES VAI SER IGUAL AO PRODUTO DE UMA MATRIZ X A OUTRA
• DÉCIMA PROPRIEDADE: SE MULTIPLICARMOS TODOS OS ELEMENTOS DE UMA FILA PELO MESMO NÚMERO E DEPOIS SOMARMOS OS RESULTADOS OBTIDOS AOS ELEMENTOS CORRESPONDENTES NA OUTRA COLUNA, OS DETERMINANTES ENTRE ESSAS MATRIZES SERÃO IGUAIS
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• Pie de imagen: EXEMPLO DA DÉCIMA PROPRIEDADE - TEOREMA DE JACOBI

MATRIZ DE VANDERMONDE

• Chama-se matriz de Vandermonde a toda matriz quadrada de ordem n x n , ou seja, com n linhas e n colunas
• A coluna dessa matriz ao lado é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1
• O determinante é dado por:
• det=
• (a2 - a1) x (a3 - a2) x (a3xa1) x (a4 - a3) x (a4- a2) (a4 - a1)... (an - an-1)...(an - a1)
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INVERSÃO DE MATRIZES COM DETERMINANTES

• A INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM N PODE SER CALCULADA PELA APLICAÇÃO DO TEOREMA AO LADO
• PRIMEIRO VOCÊ CALCULA O DETERMINANTE DA MATRIZ
• DEPOIS VOCÊ CALCULA OS COFATORES DOS ELEMENTOS DESSA MATRIZ
• EM SEGUIDA, A FÓRMULA AO LADO É APLICADA E AÍ SIM NÓS ACHAMOS A MATRIZ INVERSA
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• Pie de imagen: AdjA= MATRIZ TRANSPOSTA DA MATRIZ DOS COFATORES

FONTES BIBLIOGRÁFICAS

• https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-determinantes.htm#:~:text=a%202%C2%AA%20linha.-,N%C3%A3o%20pare%20agora...,Tem%20mais%20depois%20da%20publicidade%20%3B)&text=Ao%20multiplicarmos%20todos%20os%20elementos,determinante%20fica%20multiplicado%20por%20K.&text=Caso%20uma%20matriz%20quadrada%20A,ser%20multiplicado%20por%20kn.
• https://www.todamateria.com.br/determinantes/#:~:text=O%20determinante%20%C3%A9%20um%20n%C3%BAmero,matriz%20A%20por%20det%20A.