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NÚMEROS COMPLEJOS

• ¿Qué son los NÚMEROS COMPLEJOS? (Enclavar)
• se le llama NÚMERO COMPLEJO binómica o binomial. En general, cualquier número complejo se denota por la letra .
• Al número se llama parte real del número complejo y se denota por , mientras que al número se llama parte imaginaria del número complejo y se denota por .
• Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, esto es , se reduce a un número real , ya que .
• Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es , el número complejo se reduce a , y se dice que es un número imaginario puro.
• En general, al conjunto de todos números complejos se le designa por el símbolo . De una manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como:

Diapositiva 2

• Números complejos conjugados
• Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.
• ra conjugado a r´= r=r´ y a´=-a+2*3.14.16*k
• Números complejos opuestos
• Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en radianes.
• ra conjugado a r´= r=r´ y a´=-(a+3.14.16)+2*3.14.16*k
• Números complejos inversos
• El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.
• 1/ra=1/r-a
• Números Complejos Ejercicios Resueltos Nivel 1 (Enclavar)

potencias y ejemplos

• Potencias de i
• Para simplificar potencias de i solamente tenemos que recordar que:
• i2 =(-1)2= -1
• (-1)n=1 si n es par.
• (-1)n=-1 si n es impar.
• Ejemplos: Expresar los siguientes sin una potencia.
• i32 = (i2)16 = (-1)16 =1
• i41 = (i2)20×i = (-1)20×i =1×i =i
• i23 = (i2)11×i = (-1)11×i =-1×i =-i

Suma y Resta de Complejos

• Para sumar dos complejos solo hay que sumar sus partes reales y sus partes imaginarias
• : ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
• Ejemplos
• ( 1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 4 + 6 i
• ( 1 + 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( 2 - 4 ) i = 4 - 2 i
• ( 1 - 2 i ) + ( 3 - 4 i ) = ( 1 + 3 ) + ( -2 - 4 ) i = 4 - 6 i
• ( -1 + 2 i ) + ( 3 + 4 i ) = ( - 1 + 3 ) + ( 2 + 4 ) i = 2 + 6 i
• Para la resta de dos complejos restamos las partes reales y las partes imaginarias ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i
• Ejemplo
• ( 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 2 - 2 i
• ( 1 + 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( 2 + 4 ) i = - 2 + 6 i
• ( 1 - 2 i ) - ( 3 - 4 i ) = ( 1 - 3 ) + ( - 2 + 4 ) i = - 2 + 2 i
• ( - 1 + 2 i ) - ( 3 + 4 i ) = ( - 1 - 3 ) + ( 2 - 4 ) i = - 4 - 2 i

Producto de Complejos

• El producto de dos números complejos se hace igual que el producto de expresiones binomiales
• Ejemplos
• Hallar el producto: ( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i )
• Solución:
• ( 1 + 2 i ) ⋅ ( 3 + 4 i ) = 1⋅ ( 3 + 4 i ) + 2i⋅ ( 3 + 4 i ) = 3 + 4 i + 6 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( -1 ) = - 5 + 10 i
• Hallar el producto: ( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i )
• Solución:
• ( 2 + i ) ⋅ ( 2 + 5 i ) = 2⋅ ( 2 + 5 i ) + i⋅ ( 2 + 5 i ) = 4 + 10 i + 2 i + 5 i 2 = 4 + 12 i + 5 ( -1 ) = - 1 + 12 i
• Hallar el producto: ( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i )
• Solución:
• ( 2 - i ) ⋅ ( 4 + 3 i ) = 2⋅ ( 4 + 3 i ) - i⋅ ( 4 + 3 i ) = 8 + 6 i - 4 i - 3 i 2 = 8 + 2 i - 3 ( -1 ) = 11 - 3 i

Módulo de un Número Complejo.

• El valor absoluto o módulo de un número corresponde a la distancia en el plano complejo entre el punto y el origen del plano.
• Ejemplos
• | 1 + 3 i | = 1 2 + 3 2 = 10
• | 2 - 3 i | = 2 2 + ( - 3 ) 2 = 13
• | 4 - 3 i | = 4 2 + ( - 3 ) 2 = 25 = 5
• Definición: Argumento: El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje positivo de abcisas , con la semirrecta que une el origen de coordenadas con su afijo. Dado el número z=a+bi, el argumento de z es: θ=tan- 1(ba)

Conjugado de un Número Complejo

• Para dividir dos números complejos necesitamos definir lo que es el conjugado de un número complejo
• Definición
• Sea z un número complejo de la forma z = a + b i , llamaremos el conjugado de z al número complejo de la forma z ¯ = a + b i ¯ = a - b i
• Ejemplos
• 3 + 4 i ¯ = 3 - 4 i2 - 5 i ¯ = 2 + 5 i
• - 3 i ¯ = 3 i- 4 ¯ = - 4
• Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado da el módulo cuadrado.
• ( 3 + 4 i ) ⋅ 3 + 4 i ¯ = 3 2 + 4 2
• ( 3 - 5 i ) ⋅ 2 - 5 i ¯ = 3 2 + 5 2
• ( a + b i ) ⋅ a + b i ¯ = a 2 + b 2

División de Complejos

• Para el cociente de dos números complejos es encesario introducir una nueva terminología, la cual es muy útil al momento de dividir números complejos, sin embargo iniciemos viendo como seria la division de un complejo sobre un real. Para dividir un complejo sobre un real se hace lo siguiente :a + b i r = a r + b r i. Veamos el siguiente ejemplo:
• Ejemplo
• 2 + 3 i 2 = 2 2 + 3 2 i = 1 + 3 2 i
• El conjugado nos permite cambiar dividir por un número complejo a multiplicar por un número complejo y dividir por un número real:
• a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c + d i ) ¯ ( c + d i ) ( c + d i ) ¯ = ( a + b i ) ( c - d i ) ( c + d i ) ( c - d i ) = ( a c + b d ) + ( b c - a d ) i c 2 + d 2 = ( a c + b d ) c 2 + d 2 + ( b c - a d ) c 2 + d 2 i
• Ejemplos
• 1 + 2 i 3 + 4 i = 1 + 2 i 3 + 4 i · 3 - 4 i 3 - 4 i = ( 1 + 2 i ) ( 3 - 4 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) = 3 - 4 i + 6 i - 8 i 2 9 - 16 i 2 = 3 - 4 i + 6 i - 8 ( -1 ) 9 - 16 ( -1 ) = 3 + 8 9 + 16 + 6 - 4 9 + 16 i = 11 25 + 2 25 i
• 3 + i 1 - 6 i = 3 + i 1 - 6 i · 1 + 6 i 1 + 6 i = ( 3 + i ) ( 1 + 6 i ) ( 1 - 6 i ) ( 1 + 6 i ) = 3 + 18 i + i + 6 i 2 1 - 36 i 2 = 3 + 18 i + i + 6 ( -1 ) 1 - 36 ( -1 ) = 3 - 6 1 + 37 + 18 + 1 1 + 37 i = - 3 37 + 19 37 i