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Description
Flashcards by PERLA CRUZ LOPEZ, updated more than 1 year ago
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Created by PERLA CRUZ LOPEZ
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| Question | Answer |
| Kurt Godel Lógico y matemático estadounidense de origen austriaco. 1906 - 1978 | Godel estudió en la Universidad de Viena obteniendo su doctorado en 1929 con una tesis sobre la "Suficiencia del Cálculo Lógico de Primer Orden", su primer logro de importancia excepcional (y de gran densidad intelectual, sólo 11 páginas). En 1930 entró a formar parte del claustro de profesores de la Universidad de Viena. |
| En 1931, con sólo 25 años, publicó su logro principal que hoy es conocido como el TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, posiblemente el descubrimiento matemático más importante del Siglo XX . | Ya establecido en EE.UU., produjo otro trabajo de enorme importancia que venía meditando desde 1938, titulado "Consistencia del Axioma de Elección y la HIPÓTESIS DEL CONTINUO generalizada con los axiomas de la Teoría de Conjuntos"(1940). |
| El Teorema de Incompletitud de Gödel. En 1931 Gödel publicó en una revista científica alemana un artículo que llevaba el impresionante título "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Pricipia Mathematica y sistemas relacionados" . | Todo sistema axiomático contiene postulados o axiomas (proposiciones aceptadas como verdaderas sin necesidad de demostración) de las que se deducen, con ayuda de la lógica, otras proposiciones llamadas teoremas. |
| El sueño de todo matemático es probar que su ciencia es consistente y completa . Consistente quiere decir que nunca se deducirán dos teoremas que están en contradicción, que no se puede deducir la verdad y la falsedad de una misma proposición. Y que el sistema sea completo significa que toda proposición que haya sido o pueda ser pensada sea susceptible, con las armas de deducción del sistema, de ser probada o refutada su veracidad. | En 1931 Kurt Gödel, demostró que si se toma un sistema de axiomas lo suficientemente amplio - que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo - siempre existirán proposiciones cuya certeza o falsedad será imposible demostrar, es decir serán proposiciones indecidibles. Aunque la proposición se cumpla en todos los casos observados, no nos garantiza que no falle en un próximo caso. |
| El Teorema de Gödel también implica, para desencanto de muchos, que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática. Cuando una proposición sea indecidible, podemos incorporarla - la proposición o su negación - como un nuevo axioma (y ya no necesito demostración alguna) y asunto resuelto. ¡ Pero habrá otra proposición indecidible en el nuevo sistema axiomático¡ | Kurt Gödel en 1938-1940 demuestra que no existe peligro en tomar la H. del Continuo como un axioma de la Teoría de Conjuntos sin que apareció contradicción alguna, no era una demostración de la H. del Continuo, sino tan sólo una demostración de que tal hipótesis no puede ser refutada |
| Esto de incorporar proposiciones indecidibles como nuevos axiomas ya se ha hecho en dos casos notables: (1) El famoso postulado de Euclides. ".Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella". Su incorporación como axioma (lo que hizo Euclides) dio lugar a la Geometría Euclídea, la incorporación de sus negaciones dio lugar a las Geometrías No-Euclídeas (nombre creado por Gauss) | (2) La Hipótesis del Continuo, otro postulado indecidible, aceptado como axioma por Georg Cantor da lugar a la Teoría de Conjuntos Cantoriana. Y su negación a la Teoría de Conjuntos No-Cantoriana. |
| (1) EL 5 o POSTULADO DE EUCLIDES Y GEOMETRÍAS NO-EUCLÍDEAS. | Este postulado tiene un enunciado equivalente a lo siguiente: "Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella". Euclides, al no poder demostrarlo como teorema lo cambiaron como axioma y la geometría resultó se llamaría Geometría Euclídea. |
| GF Bernhard RIEMANN (alemán, fue discípulo de Gauss, 1826-1866) postuló que por un punto exterior no pasa paralela alguna, dando lugar a otra Geometría No-Euclídea (también llamada "de Riemann"). | Las tres geometrías llevan a propiedades y conclusiones muy distintas, tales como la suma de los ángulos interiores de un triángulo: En la Geometría Euclídea la suma es siempre 180°. |
| (2) LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO. Georg F. CANTOR (ruso-alemán, 1845-1918) es el creador de la célebre Teoría de Conjuntos. | Sus ideas quedaron claramente por delante de su tiempo y levantaron grandes controversias. Descubrió que más allá del infinito de los Números Naturales (N)—-a cuyo cardinal (cardenal de un conjunto es el N° de sus elementos) llamó aleph-sub-cero (aleph es la I a letra del alfabeto hebreo)—existen no solamente infinitos superiores sino un número infinito de ellos (infinitos alephs). |
| Kurt Gödel en 1938-1940 demuestra que no existe peligro en tomar la H. del Continuo como un axioma de la Teoría de Conjuntos sin que apareció contradicción alguna, no era una demostración de la H. del Continuo, sino tan sólo una demostración de que tal hipótesis no puede ser refutada. | Pero en 1963 Paul J. COHEN (estadounidense, 1934-2007), a los 29 años, dio el definitivo carpetazo a la cuestión probando que si se suponía que la H. del Continuo fuera falsa, tampoco se llegaba a ninguna contradicción. Por lo tanto, no se puede probar que sea válida ni que sea falsa. Uno puede hacer con ella lo que quiera, razonar con ella o sin ella, o incluso contra ella dando lugar a una Teoría de Conjuntos No-Cantoriana (no estándar). Nunca incurrirá en contradicción, aunque, eso sí, edificará matemáticas distintas. |
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