8838808
Description
Flashcards by Sergei Fomin, updated more than 1 year ago
|
Created by Sergei Fomin
almost 7 years ago
|
|
| Question | Answer |
| Определение билинейной формы | Числовая функция A(x,y), аргументами котороя являются всевозможные векторы x и y вещественного л. п. L, называется билинейной формой, если для любых векторов x, y и z из L и любого вещественного числа l выполняется: A(x+z,y) = A(x,y) + A(z,y) A(x,y+z) = A(x,y) + A(x,z) A(l*x, y) = l*A(x,y) A(x,l*y) = l*A(x,y) |
| Симметричная/кососимметричная билинейная форма | Б.ф. A(x,y) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов x и y л.п. L выполняются соотношения: A(x,y) = A(y,x) ( A(x,y) = -A(y,x) ) |
| Представление произвольной билинейной формы в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм | A1 = 0.5 * [ A(x,y) + A(y,x) ] A2 = 0.5 * [ A(x,y) - A(y,x) ] |
| Матрица билинейной формы | Любая билинейная форму B(x,y) при заданном в n-мерном л.п. L базисе e = {ei} м.б. лднозначно представлена в виде: B(x,y) = sum [ bij*xi*yj ] по всем парам i, j т.ч. 1 <= i, j <= n bij образуют матрицу |
| Связь матриц одной и той же билинейной формы в разных базисах | Матрицы A(e) и A(f) билинейной формы A(x,y) в базисах {ei} и {fi} связаны соотношением: A(f) = C^T A(e) C где C - матрица перехода от {ei} к {fi} |
| Ранг билинейной формы, ее вырожденность | Ранг матрицы билинейной формы не меняется при смене базиса. Рангом б.ф. называют ранг матрицы это б.ф. в произвольном базисе. Б.ф., заданная в л.п. размерности n, называется невырожденной, если ее ранг равен n. |
| Определение квадратичной формы. Полярность. | Пусть A(x,y) - симметричная билинейная форма, заданная на л.п. L. Квадратичной формой A(x,x) называется числовая функция, получаемая из A(x,y) при x=y. Симметричная б.ф. A(x,y) называется полярной к A(x,x). |
| Связь квадратичной формы и полярной к ней билинейной формы | Полярная б.ф. A(x,y) и квадратичная форма A(x,x) связаны соотношением: A(x,y) = 0.5 * [ A(x+y, x+y) - A(x,x) - A(y,y) ] |
| Матрица квадратичной формы | A(x,x) = sum [aij * xi * xj] по всем i, j таким, что 1 <= i, j <= n, где n - размерность л.п., на котором определена кв. форма. Элементы aij образуют матрицу, называемую матрицей кв. ф. A(x,x). |
| Положительная/отрицательная определенность квадратичной формы | Кв. форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого x выполняется: A(x,x) > 0 ( A(x,x) < 0 ) |
| Знакопеременность квадратичной формы | Кв. форма A(x,x) называется знакопеременной, если существуют такие x и y, что A(x,x) > 0, A(y,y) < 0 |
| Квазизнакоопределенность квадратичной формы | Кв. форма A(x,x) называется квазизнакоопределенной, если для всех x: A(x,x) >= 0 или A(x,x) <= 0, но имеется отличный от нуля вектор x, для которого A(x,x) = 0 |
| Канонический базис квадратичной формы | Для любой кв.ф. A(x,x) существует такой базис, в котором она представляется в каноническом виде: A(x,x) = l1 x1^2 + l2 x2^2 + ... + ln xn^2 К-ты li называются каноническими коэффициентами. |
| Закон инерции квадратичных форм | В любом каноническом базисе для данной кв. формы число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэффициентов не меняется. |
| Нормальный вид квадратичной формы | Для любой квадратичной формы найдется такой базис, в котором она представляется в виде: A(x,x) = l1 x1^2 + ... + ln xn^2, где li равны -1, 0 или 1 |
| Индекс инерции квадратичной формы. Положительный и отрицательный индексы инерции. | И.и. - число ненулевых канонических коэффициентов кв.ф. Положительный и.и. - число положительных канонических коэффициентов, отрицательный - число отрицательых. |
| Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы | Для того, чтобы кв. ф. A(x,x) была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее канонические коэффициенты были либо положительными, либо отрицательными. |
| Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы | Для того, чтобы кв. ф. A(x,x) была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один ее кананоческий коэффициент был положителен и хотя бы один отрицателен. |
| Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы | Для того, чтобы кв. ф. A(x,x) была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, все ее ненулевые канонические коэффициенты были одного знака. |
| Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы | Пусть di - угловые миноры и определитель матрицы кв.ф. A(x,x). Для того, чтобы A(x,x) была положительно определенной, необходимо и остаточно, чтобы di > 0 для всех di. Чтобы A(x,x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки di чередовались, причем d1 < 0. |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.