9943453
Description
Flashcards by Sergei Fomin, updated more than 1 year ago
More
| Question | Answer |
| Определение оператора, линейного оператора | Оператор - отображение мн-ва элементов л.п. V на мн-во элементов л.п. W, где размерности V и W в общем случае не равны. Оператор называется линейным, если для любых двух элементов x1 и x2 из V выполняются условия: A(x1+x2) = A(x1) + A(x2) A(l*x1) = l*A(x1), где l - произвольное число |
| Линейное преобразование. Линейный функционал (линейная форма) | Если W = V, то A называют линейным преобразованием. Если W - комплексная плоскость, то A называют линейным функционалом (или линейной формой). |
| Действия над л.о., пространство л.о. | Определим операцию сложения двух л.о. как: (A+B)x = Ax + Bx Умножение на число: (l*A)x = l*(Ax) Определим также нулевой и противоположный операторы. Тогда множество L(V,W), состоящее из всех л.о., действующих из V в W, является линейным пространством. |
| Множество L(V,V): тождественный оператор, произведение операторов | Назовем тождественным оператор I из L(V,V), т.ч. Ix = x. Произведением операторов A и B, принадлежащих L(V,V), назовем оператор (AB)x = A(Bx) |
| Свойства операторов из L(V,V) | k(AB) = (kA)B (A+B)C = AC + BC A(B+C) = AB + AC (AB)C = A(BC) |
| Определение обратного оператора | Говорят, что л.о. B из L(V,V) является обратным для оператора A из L(V,V), если выполняется соотношение: AB = BA = I |
| Свойство Ax = 0 при существовании обратного оператора к A | Если у A существует обратный оператор, то из Ax = 0 автоматически следует, что x = 0. |
| Взаимно однозначный оператор: определение и прямое следствие | Оператор A из L(V,V) называется взаимно однозначным, если для различных x1 и x2 из V будут также различными Ax1 и Ax2. Тогда каждому y из V будет соответствовать ровно один x из V, такой что Ax = y. |
| Связь обратимости оператора и его однозначности. | Для того, чтобы оператор A из L(V,V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы оператор A действовал взаимно однозначно. |
| Ядро и образ линейного оператора | Ядром л.о. называется множество элементов, которые отображаются данным оператором в нулевой элемент. Образом л.о. называется множество элементов y, т.ч. существует x т.ч. Ax = y. Ядро и образ л.о. являются линейными подпространствами V. |
| Связь размерности ядра и образа л.о. и его обратимости | Для того, чтобы оператор A из L(V,V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы ядро A содержало лишь нулевой элемент (эквивалентно: чтобы образ A был равен V) |
| Теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного оператора | Пусть dim V = n, A - линейный оператор из L(V,V). Тогда: dim (ker A) + dim(im A) = n |
| Теорема о разложении л.п. на прямую сумму ядра и образа некоторого л.о. | Пусть V1 и V2 - два таких подпространства V, что dim V = dim V1 + dim V2. Тогда существует такой л.о. A из L(V,V), что ker A = V1 и im A = V2. |
| Ранг линейного оператора. Необходимое и достаточное условие обратимости л.о. через его ранг. | rang A = dim(im A) Для того, чтобы у л.о. A из L(V,V) существовал обратный, необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V |
| Две теоремы о ранге произведения двух л.о. Следствие | Пусть A и B - л.о. из L(V,V). Тогда: rang AB <= rang A rang AB <= rang B rang AB >= rang A + rang B - n Если rang A = dim V, то rang AB = rang B |
| Матричная запись линейного оператора. Количество матриц данного л.о. в заданном базисе. | Матрицей линейного оператора в заданном базисе называется такая матрица, у которой i-й столбец представляет собой координаты Aei в этом базисе, где ei - элемент базиса. У каждого л.о. существует ровно одна матрица в заданном базисе. |
| Теорема о связи ранга линейного оператора и ранга его матрицы | Ранг л.о. равен рангу матрицы этого л.о. в любом базисе. |
| Преобразование матрицы л.о. при переходе к новому базису | Пусть A - матрица л.о. в старом базисе, A' - в новом, U - матрица перехода от старого базиса к новому (записанная по столбцам), U^-1 - обратная ей матрица. Тогда: A = UA'(U^-1) A' = (U^-1)AU |
| Определитель л.о. | Из прошлой теоремы следует, что определитель матрицы заданного л.о. в любом базисе будет одинаков. Тогда говорить об определителе л.о. как определителе матрицы этого л.о. в любом базисе. |
| Характеристический многочлен и характеристическое уравнение оператора. | Пусть A - произвольный л.о., I - тождественный оператор. Тогда характеристическим многочленом называют следующее выражение: det (A - v*I), где v - некий скаляр. Характеристическое уравнение: det (A - v*l) = 0 |
| Инвариантное подпространство | Подпространство V1 пространства V называется инвариантным подпространством оператора A, если для любого x из V1 вектор Ax также принадлежит V1. |
| Собственное значение и собственные векторы | Число v называется собственным значением оператора v, если существует ненулевой вектор x, такой что: Ax = v*x При этом вектор x называется собственным вектором, соответствующим собственному значению. |
| Необходимое и достаточное условие того, чтобы число v являлось собственным числом заданного л.о. Следствие: у каждого ли л.о. есть собственное значение? | Число v должно быть корнем характеристического уравнения оператора A. Отсюда следует, что у каждого л.о. есть собственное значение, т.к. у каждого многочлена есть корень. |
| Теорема о необходимом и достаточном условии диагональности матрицы л.о. | Для того, чтобы матрица оператора A в заданном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами A. |
| Теорема о достаточном условии линейной независимости собственных векторов. | Пусть собственные значения v1, ..., vn л.о. A различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. |
| Лемма об эквивалентности линейной формы скалярному произведению в евклидовом пространстве. | Пусть f - линейная форма из L(V,C). Тогда существует единственный элемент h из V, такой что f(x) = (x,h) |
| Определение полутаролинейной формы | Числовая функция B(x,y), аргументами которой являются всевозможные векторы x, y л.п. L называется полуторалинейной формой, если выполнены следующие равенства: B(x+y, z) = B(x, z) + B(y, z) B(x, y+z) = B(x, y) + B(y, z) B(v*x, y) = v*B(x, y) B(x, v*y) = ~v*B(x, y) |
| Альтернативное представление полуторалинейной формы | Пусть B(x,y) - полуторалинейная форма. Тогда существуют такие л.о. A1 и A2, что: B(x,y) = (A1x, y) = (x, A2y) В общем случае операторы A1 и A2 не равны. |
| Матрица полуторалинейной формы в заданном базисе | Матрицей полуторалинейной формы B в бизисе {ek} называется матрица, у которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит элемент B(ei, ej). При этом можно записать: B(x, y) = sum_i [sim_j [ bjk*xi*~yj ]] |
| Взаимосвязь матрицы полуторалинейной формы и матрицы л.о. A в представлении этой формы: B(x, y) = (Ax, y) | B = A^T (транспонированная) |
| Взаимосвязь матрицы полуторалинейной формы и матрицы л.о. A в представлении этой формы: B(x, y) = (x, Ay) | B = ~A^T (транспонирование и сопряжение) |
| Сопряженный оператор. Количество сопряженных к данному операторов. | Пусть A - л.о. из L(V, V). Тогда A* называется сопряженным оператором к A, если для любых x и y из V выполняется равенство: (Ax, y) = (x, A*y) У каждого линейного оператора существует ровно один сопряженный. |
| Свойства сопряженных операторов (5 штук) | I* = I (A+B)* = A* + B* (v*A)* = ~v*A* A** = A (AB)* = B*A* |
| Самосопряженный оператор | Л. о. называется самосопряженным, если: A* = A |
| Разложение оператора на действительную и мнимую составляющие | Пусть A - произвольный л.о. Тогда справедливо представление: A = Ar + iAi, где Ar и Ai - самосопряженные операторы, определяемые как: Ar = (A+A*)/2 Ai = (A-A*)/2i |
| Необходимое и достаточное условие самосопряженности произведения самосопряженных операторов AB | Для самосопряженности произведения л.о. A и B, которые уже самосопряженные, необходимо и достаточно, чтобы AB = BA |
| Теорема о скалярном произведении (Ax, x), если оператор A является самосопряженным | Если оператор А является самосопряженным, то для любого x из V скалярное произведение (Ax, x) - вещественное число. |
| Теорема о собственных значениях самосопряженного линейного оператора. | Если оператор A является самосопряженным, то его собственные значения вещественны. |
| Теорема о собственных векторах самосопряженного линейного оператора. | Если A - самосопряженный оператор, то его собственные вектора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны. |
| Норма линейного оператора. Неравенство, вытекающее из определения нормы. | Пусть A - линейный оператор, отображающий л.п. V в это же пространство. Тогда нормой A назовем число sup ||Ax|| на множестве ||x|| = 1 Из определения нормы вытекает неравенство: ||Ax|| <= ||A||*||x|| |
| Необходимое и достаточное условие самосопряженности линейного оператора | Для того, чтобы линейный оператор A был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы Im (Ax, x) = 0 (мнимая составляющая) |
| Лемма об представлении собственного значения самосопряженного линейного оператора | Пусть A - самосопряженный л.о. в е.п. Тогда любое собственное значение v этого оператора может быть представлено как: v = (Ax,x) где x - некоторый единичный вектор из л.п. V |
| Теорема о наименьшем и наибольшем собственном значении самосопряженного линейного оператора | Пусть A - самосопряженный л.о. в е.п. V. Тогда inf ||Ax|| на множестве ||x|| = 1 будет наименьшим собственным значением A, а sup ||Ax|| на множестве ||x|| = 1 (т.е. ||A||) будет наибольшим собственным значением A. |
| Каким свойством обладает множество всех собственных векторов самосопряженного оператора в евклидовом пространстве? | К каждого самосопряженного л.о. A, действующего в n-мерном е.п. V, существует n линейно независимых попарно ортогональных единичных собственных векторов. |
| Минимаксная теорема | Пусть A - самосопряженный л.о., v1, ..., vn - его собственные значения, занумерованные в порядке невозрастания, Em - множество всех m-мерных подпространств пр-ва V. Тогда: v[m+1] = min [по E из Em] max [ по x перп. E ] (Ax,x)/(x,x) |
| Проекторы на одномерные пространства, порожденное векторами базиса | Пусть в е.п. V имеется ортонормированный базис {e_k}, состоящий из собственных векторов л.о. A. Проектором P_k на одномерное пространство, порождаемое вектором e_k, называется л. о., определяемый как: P_k x = (x,e_k)e_k |
| Свойства проекторов: возведение в степень и произведение проекторов | 1) (P_k)^2 = P_k 2) P_k P_j = 0 при k != j |
| Спектральное разложение самосопряженного линейного оператора | A = sum [ l_k * P_k ], где А - сапосопряженный л.о., l_k - собственное значение А, P_k - проектор на одномерное пространство, порожденное соответствующим собственным вектором. |
| Теорема Гамильтона-Кэли | Пусть p(l) - характеристический многочлен самосопряженного линейного оператора A. Тогда p(A) = 0 |
| Аннулирующий многочлен. Следствие из теоремы Гамильтона-Кэли о количестве а.м. для самосопряженного л.о. | А. м. - такой многочлен, значение которого от данного линейного оператора равно нулю. Согласно теореме Гамильтона-Кэли, у каждого самосопряженного л.о. существует как минимум один аннулирующий многочлен. |
| Минимальный многочлен | М. м. - многочлен минимальной степени, аннулирующий данный линейный оператор А. |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.