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Description
Mind Map by Sandra Navarro, updated more than 1 year ago
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Created by Sandra Navarro
over 6 years ago
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Subespacio vectorial
- Difinición
- Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V
y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación por un escalar
definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio
de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin
embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado
que hace relativamente sencillo determinar si un
subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
- Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V
y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación por un escalar
definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio
de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin
embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado
que hace relativamente sencillo determinar si un
subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
- Propiedades De
Subespacio Vectorial
- 1). El vector cero de V está en H.2
- 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es,
para cada u y v en H, la suma u + v está en H
- 3). H es cerrado bajo la
multiplicación por
escalares. Esto es, para
cada u en H y cada escalar
c, el vector cu está en H.
- 1). El vector cero de V está en H.2
- Teorema de sub espacio
- Un subconjunto no vacio de H de un
espacio vectorial V es un sub espacio
de V si se cumplen las dos reglas de
cerradura:
- Reglas de cerradura para ver si un
subconjunto no vació es un sub espacio
- i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii) Si x € H, entonces αx € H para todo
escalar α.
- Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de
cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un
espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la
definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y
multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de
cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H
son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa,
distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
- Este teorema demuestra que para
probar si H es o no es un sub
espacio de V, es suficiente verificar
que:
- x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.
- x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.
- Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de
cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un
espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la
definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y
multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de
cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H
son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa,
distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
- i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii) Si x € H, entonces αx € H para todo
escalar α.
- Reglas de cerradura para ver si un
subconjunto no vació es un sub espacio
- Un subconjunto no vacio de H de un
espacio vectorial V es un sub espacio
de V si se cumplen las dos reglas de
cerradura:
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