Números imaginarios y complejos.

Números imaginarios y complejos.

1. Números imaginarios:

   • Unidad imaginaria: La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno). En matemáticas se usa i (de imaginario).
     • En matemáticas un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: 3i es un número imaginario, así como i o -i son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma z=yi, donde y es un número real.
       • Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir: z=yi.
       • Forma de operar:
         • Los números imaginarios se pueden operar como términos algebraicos.
           • Suma:
             • Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente.
               • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
           • Sustracción:
             • Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales.
               • (5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i
           • Multiplicación:
             • Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo.
               • (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)i
           • División:
             • En la división de los números imaginarios se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
   • Propiedades.
     • Propiedad para potencias de i:
       • La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas: Si, i × i = -1, ... después -1 × i = -i, ... después -i × i = 1, ... después 1 × i = i.
         • Todas las potencias de i cuyos exponentes son: múltiplos de 4 son iguales 1, si son múltiplos de 4 más 1, darán i, si son múltiplos de 4 más 2, darán -1 y si son múltiplos de 4 más 3, darán -i.
     • Para la suma:
       • La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.
       • Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.
       • Propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.
       • Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.
       • Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.
     • Para la multiplicación:
       • El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro.
       • En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.
       • También posee una propiedad distributiva. Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.
       • De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario. Podemos anotar lo siguiente: √-25 = √25 × -1 = √25 √-1 = 5i.

2. Números complejos:

   • Un número complejo es todo número de la forma a+bi, siendo a y b números reales, e "i" la unidad imaginaria explicada anteriormente.
     • Z (forma de representar un número complejo)= a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
       • Un número complejo se puede representar de diferentes formas:
         • Canónica o en forma de binomio: a+bi.
         • Como par ordenado: (a,b).
         • Gráficamente: Se representa en el plano complejo (plano de Argand) donde el eje X representa al eje real (Re) y el eje Y al eje imaginario (Im).
       • Módulo o valor absoluto de un complejo:
         • El módulo de un complejo Z=(a,b), es la longitud del vector que representa, es decir, la distancia entre (0,0) y (a,b).
           • Se calcula de la siguiente forma: |Z|= raíz cuadrada de a^2 + b^2.
       • El conjugado de un número complejo:
         • Se denota como muestra la imagen:
         • Algebraicamente, el conjugado de Z sólo difiere de este en el signo de su parte imaginaria, es decir, si Z=a+bi, entonces el conjugado de Z es a-bi.
       • Operatoria en los números complejos:
         • Suma:
           • Si Z 1 = a + b i y Z 2 = c + d i , entonces: Z 1 + Z 2 = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
         • Sustracción:
           • Si Z 1 = a + b i y Z 2 = c + d i, entonces: z 1 – z 2 = ( a – c ) + ( b – d ) i
             • Ponderación por un escalar:
               • Sea z=a+bi= (a,b) un número complejo y K un número real, entonces:
                 • K*z= K(a,b)=(K*a,K*b)
                 • K*z=K(a+bi)=K*a+bi
         • Multiplicación:
           • El proceso para multiplicar dos números complejos es similar al de multiplicar dos binomios. Multiplica cada término en el primer número por cada término en el segundo.
             • Si Z 1 = a + b i y Z 2 = c + d i, entonces: z 1 . z 2 = ( a + b i ) . ( c + d i ) = a c + a d i + b i c + b d i ^2
               • Como i^2= -1 , podemos reemplazar i^2 por -1 para obtener el resultado en números reales.
         • División:
           • Sean z 1 = a + b i , z 2 = c + d i Para hallar z 1 / z 2 multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
             • z 1 /z 2 = z 1 /z 2 * el conjugado de z2/ en el conjugado de z 2.

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