Números Imaginarios y Complejos

Números Imaginarios y Complejos

1. Números imaginarios

   • Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
     • De este salen los complejos
       • Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.
         • Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152).
         • un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo.
         • El número complejo es todo número de la forma a+bi, siendo a y b números reales, e i la unidad imaginaria (i= Raíz de -1)
           • Es representado con una "z"
             • Módulo
               • El módulo de un complejo, es la longitud del vector que representa, es decir, la distancia entre (o,o) y (a,b)
                 • z es:
                   • |z|
             • conjugado
               • Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.
                 • Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi.
                   • Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:
                     • =
             • Operatoria de los complejos
               • Adición
                 • La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real, la suma de las partes reales y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. En fórmulas
                   • (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
               • Sustracción
                 • Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2
                   • (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
               • Multiplicación
                 • El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
                   • (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
               • División
                 • Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.
                   • Ejemplo:
               • Ponderación por un escalar
                 • Sea z=a+bi=(a,b) un N complejo y k E Reales, entonces:
                   • K por z= k(a,b)= (K por a, K por b)
                   • K por z= K(a+bi)= K por a + K por b
                   • ó
               • Igualdad entre complejos
                 • Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias respectivamente:
                   • a+bi=a'+b'i          ⇔        a=a'    y     b=b'
               • Inverso multiplicativo (Recíproco)
                 • El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número z, distinto de cero, existe un número, llamado el el inverso, denotado por z−1, que cumple
                   • z⋅z^−1=1
                     • Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de z=a+bi, con a⋅b≠0 , es
                       • z−^1=a−bi/a2+b2
                         • Para recordar más fácilmente el recíproco lo denotaremos por
                           • 1/a+bi
               • Inverso aditivo
                 • Opuesto
                   • (a+bi) + (-a-bi)= 0+0i
           • Forma binominal (a+bi)
     • Potencias de i
       • Las potencias de i definen como es nuestro imaginario, estas están guiadas por un patrón, el cual repite el resultado dado cada 4 potencias ( intervalos de números igual a 4)
         • i^0 = 1
         • i^1 = i
         • i^2 = −1
         • i^3 = −i
         • i^4 = 1

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