TRIGONOMETRIA EN N° COMPLEJOS

TRIGONOMETRIA EN N° COMPLEJOS

1. Forma trigonométrica y forma polar.

   • Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento. Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.

2. Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

   • Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales: Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:
     • cos x = cos y sen x = sen y
       • ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z
       • Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:
         • rx = rx + 2·k·pi

3. Paso de la forma binómica a la forma polar

   • Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:
     • a = r·cos x b = r·sen x
       • Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que: |z| = (a2 + b2)1/2
         • Además es: b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x
           • Por tanto x = arc tg (b/a) estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.

4. Forma binomica

   • La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real.

5. Operaciones con números complejos en forma polar.

   • Mulptiplicacion
     • Sean z1 = r1·(cos x + i·sen x) y z2 = r2·(cos y + i·sen y) dos números complejos en forma trigonométrica. Es:
       • z1·z2 = [r1·(cos x + i·sen x)]·[r2·(cos y + i·sen y)] = r1·r2·(cos x + i·sen x)·(cos y + i·sen y) = r1·r2·(cos x cos y + i·cos x sen y + i·sen x cos y + i2·sen x sen y) = r1·r2·[(cos x cos y - sen x sen y) + i·(cos x sen y + sen x cos y)] = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
         • Es decir; z1·z2 = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
           • En forma polar sería: rx·r´y = (r·r´)x + y
   • Division
     • Veamos en primer lugar cómo se calcula el inverso de un número complejo en forma polar. Sea z = r·(cos x + i·sen x) = a + b·:i , donde a = r·cos x y b = r·sen x Tenemos:
       • 1/z = a/(a2 + b2) - [b/(a2 + b2)]·i = (r·cos x)/(r2cos2x + r2sen2x) - [(r·sen x)/(r2cos2x + r2sen2x)]·i = (cos x)/[r·(cos2x + sen2x)] - i·(sen x)/[r·(cos2x + sen2x)] = (1/r)·cos x - (1/r)·i·sen x = (1/r)·(cos x - i·sen x) = (1/r)[cos(-x) + i·sen(-x)]
         • Es decir, 1/rx = (1/r)-x
           • Por lo tanto, la expresión del cociente de números complejos vendrá dada por: rx /r´y = (r/r´)x - y
   • Potencia
     • Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:
       • zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x
         • Es decir, (rx)n = (rn)n·x
           • Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos: z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x)
             • De donde: cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n
               • expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre. Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

6. Raíz n-ésima de un núnero complejo.

   • Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:
     • (s*n)n·y = rx
       • s*n = r n·y = x + 2·k·pi , con k C Z
         • s = r1/n y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z
           • Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima de z.

7. Tangente de un angulo: tg(a)/cos(a)

   • Arcotangente:sea z=a+bi, a diferente de 0, cuyo argumento principal es el angulo.El valor del arco tangente b/a, denotado por arcotg(b/a)=angulo=tg(angulo)

8. Representación geométrica de un número complejo

   • Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.
     • El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z. Además, el módulo del vector OP es: |OP| = (a*2 + b*2)1/2 = |z|
       • que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas. Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:
         • sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
           • Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)

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