ESPACIOS VECTORIALES

Orto-normales y método de Gran Schmindt
1. Sea (E(,)) un espacio euclídeo y B=(v1,...vn) una base de E ñ, entonces, existe una base B ortogonal cuyo primer elemento es v1 y tal que MB´B es triangular
  1. Demostración
    1. 1. Se toma u1 = u1
      1. 2. se toma u2=u2 + a2,1u1,eligiendo a2, 1 de forma que 0, es = (u1,u2)
        En general se define ui+ai,1u1+2u2+...ai,i-1ui-1, tomando ai, j de forma que (u1,j)=0, para j=1,...i-1-se tiene ai,j=(ui,uj)/ (uj,uj), para j=1,...,i-1
  2. Se puede construir una base orto-normal dividiendo cada vector por su norma
    1. Se puede elegir cual va a ser el primer vector de la nueva base ortogonal: es el que se toma como primer vector en la base de partida
2. Bases orto-normales
  1. B es ortogonal si sus elementos entre si son perpendiculares <V| Vj>= 0 (Producto punto)
    1. Si además cada elemento de la base tiene de norma = 1, la base se llama ortonormal.
      1. Los vectores unitarios canónicos E1 en RN forman una base orto-normal de RN y además cada uno de ellos tiene norma =1 por lo tanto Ei. Ej: 0-(1,0)(0,1)
        Producto escalar= producto interno de las coordenadas de los vectores
BASES
1. Espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes
  1. Tipos de bases
    1. Base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno, los elementos son mutuamente ortogonales y normales
      1. Base ortogonal satisface las mismas condiciones salvo la de magnitud unitaria
  2. Propiedades
    1. Una base de S en un sistema generador mínima de S.
      1. Es un conjunto independiente maximal dentro de S
        Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella
  3. Tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial
    1. Todo espacio vectorial tiene al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única
2. Sistema Generador
  1. Sea {v1,v2,..vr} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V
Construcción de espacios vectoriales
1. Las operaciones deben definirse de tal manera que:
  1. La suma es conmutativa: v+w = w+v
    1. La suma es asociativa: v+ (w+u)= (v+w) +u
      1. Existe un vector cero ' en V tal que u+0 para todo u en V. El vector cero se llama idéntico aditivo
        Para cada vector v en V hay un inverso aditivo v en V tal que v+(-v)=0
        (rs) v=r(sv)
        r(v+w)=rv+rw
2. Una operación llamada multiplicación escalar, que cada número real "R" y vector "v" es V le asocia un vector Rv en V
  1. Llamado producto de R y v
3. Una operación detonada con "+" que a cada par de vectores v,w en V asocia un vector v+w también en V
  1. Llamado producto de v y w
4. Un conjunto de V de objetivos
  1. Estos objetos reciben en nombre de vectores, en casos específicos pueden tratarse de matrices o funciones
Espacios con producto internos
1. Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real <u,v> con cada para de vectores u y v cumplen los siguientes axiomas
2. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores uv en V un número real <u,v>
  1. Propiedades
    1. (v,v) z 0
      1. (v,v)=0 si y solo si v=0
        (u,v+w)= (u.v)+(u,w)
        (u+v.w) = (u,w)+ (u,w)
        (u.v)=(v,u)
        (au,v)=a (u.v)
        (u.av)= a(u.v)
3. El producto interior euclidiano es solo uno mas de los productos internos que se tiene que definir en Rn para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación
  1. U * V = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
  2. <u.v> = producto interno general para espacio vectorial V
  3. Propiedades
    1. <0,v> =<v,0>=0
    2. <U + V,W>=<U,W> +<v,w>
    3. <U,CV> =C<U,V>
Transformaciones lineales
1. Funciones entre K- espacios vectoriales que son compatibles con la estructura de estos espacios
2. Sean (V,+-V,*V) y (W,+W,*W) dos K- espacios vectoriales
  1. Una función f: V- W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
    1. 1.F (u+v)=f (u) + F(v) ꓯ u, є V
      1. 2. F(k.v) = k.F(V) ꓯ v є V, ꓯ k є R
        La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del condominio 0w. T(0v) = 0w
        La imagen del vector -v es igual al opuesto de la imagen de v:T(-v)= -T(v)
        Consideramos r vectores del espacio vectorial V: v1,v2,..,v r є v
Aplicaciones de espacios vectoriales
1. Creación de videojuegos
  1. Películas animadas
    1. Trasporte aéreo
      1. Trasporte marítimo
        Ingenierías como civil, sistemas e industrial
        1. Cálculos numéricos 2.Problemas de estadística 3. Resolución de ecuaciones lineales 4.Conocer fuerzas que actúan sobre un puente o edificio
        Tratamiento de objetos físicos y geométricos como los tensores

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