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Flashcards

Espacios Vectoriales

Daro Gmnz Spanish 28 cards

Cards in this deck (28)

  1. 1Espacios vectorialesUn espacio vectorial es un conjunto no vacío de \( V \) objetos, donde se han definidos dos operaciones, la suma y multiplicación por un escalar sujeto a 10 axiomas que deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en \( V \) y todos los escalares
    \(\alpha \space y \space \beta\)
  2. 2Los 10 Axiomas de un EV\(
    \\1. \space \mathbf {u +v} \space (cerradura \ bajo \ suma)
    \\ 2. \space \mathbf {u+v=v+u} \space ( Conmutatividad)
    \\ 3. \space \mathbf {(u+v)+w=u+(v+w)}\space (Asociatividad)
    \\ 4. \space \mathbf {Existe \ un \ vector \ nulo \ 0_v\ tal\ que \ u +0 = u}
    \\ 5. \space \mathbf { Para \ cada \ v \ en \ V \ existe \ un \ opuesto} \mathbf \ {-v} \ tal \ que \mathbf {v+(-v)= 0}
    \\ 6. \space \mathbf {\alpha \ v \ está \ en \ V} \
    (\ cerradura \ bajo \ multiplicación)
    \\ 7. \space \mathbf {\alpha (u+v)=\alpha \ u + \alpha \ v \ (Distributividad)}
    \\ 8. \space \mathbf {(\alpha + \beta)v= \alpha \ v + \beta \ v \ (Distributividad)}
    \\9. \space \mathbf {\alpha (\beta v)=(\alpha \beta)v}
    \\10. \space \mathbf {1v = v}
    \)
  3. 3Propiedades de los EV\(\\ 1. \space \mathbf {0u = 0_v}
    \\ 2. \space \mathbf {\alpha \ 0_v = 0_v}
    \\ 3. \space \mathbf {(- \alpha) \ u=-(\alpha \ u}
    \\4. \space \mathbf {\alpha \ u=0_v \longrightarrow \alpha = 0 \space \space u=0_v}
    \)
  4. 4Definición de SubespacioSea \( \ V\) un EV y \( \ W\) un subconjunto no vacío de \( \ V\).
    W es un subespacio de \( \ V\) si \( \ W\) es en sí mismo un EV con las mismas operaciones definidas en \( \ V\)
  5. 5Condiciones Suficientes y Necesarias de un sev\(
    \ w \subseteq \ V es \ un \ sev \leftrightarrow \ :
    \\ 1. \space \mathbf {0_v} \subset w
    \\2. \space \mathbf {u , v} \ están \ en \ w \rightarrow \mathbf {u+v} \ está \ en \ w
    \\3. \space \ si \mathbf {u} \ está \ en \ w \ y \ k \ es \ un \ escalar \rightarrow \mathbf {ku} \ está \ en \ w
    \)
  6. 6Demuestre que: La intersección de cualquier número de sev de un EV \( \mathbf {V}\) es un sev de \( \mathbf {V}\)\(
    Sea \ \mathbf {U} \ y \mathbf {W} \ sev \ de \ un \ EV \space \mathbf {V}
    \\ \bullet 0 \in \mathbf {U} \ y \ 0 \in \mathbf {W} \ ya \ que \mathbf {U} \ , \mathbf {W} \ son \ sev
    \\ \bullet \mathbf {u+v \ , \space \ ku \in U}
    \\ \bullet \mathbf {u+v \ , \space \ ku \in W} \ para \ cualquier \ k
    \)
  7. 7Demuestre que: El conjunto solución \(\mathbf {W}\) de un sistema homogéneo con \(\mathbf {n}\) incógnitas \(\mathbf {AX=0}\) es un sev de \( k^{n}\)\(
    \bullet Toda \ solución \ de \ un \ Sist \ Ec \ Lin. \ con \ n \ incógnitas \\ \mathbf {AX=0} \ puede \ verse \ como \ un \ punto \ de \mathbf {k^{n}}
    \\ \bullet Si \ es \ un \ Sist \ Homo \rightarrow
    \mathbf {AX=0} \ y \ W \ su \ conjunto \ solución
    \)
  8. 8Combinación LinealSea \( v_1, v_2,...,v_n \in V \)
    Se dice que el vector \(\ w \) es una CL si se puede expresar como:
    \(\ W=k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n\)
  9. 9Conjunto generadorSea \( \ {v_1, v_2,...,v_n} \in V \) -ev
    Si todo vector \(\ V \) puede expresarse como CL de \( \\ v_1, v_2,...,v_n \rightarrow\) \(\ {v_1, v_2,...,v_n} \) es un Conj. Generador.
  10. 10Subespacio GeneradoDados los vectores \( v_1, v_2,...,v_n \in V \)
    Se llama \(\mathbf {Subespacio \ Generado}\) por \( v_1, v_2,...,v_n \) al conjunto de todas las CL de éstos vectores.
    Se denota \( \mathbf gen\) { \( v_1,v_2,...,v_n \) }
  11. 11Independencia LinealSi \( \ A= v_1, v_2,...,v_n \in V \)
    La ecuación vectorial
    \(\mathbf {( \alpha_1 v_1,\alpha_2 v_2,...,\alpha_n v_n = 0_v }\)
    tiene la solución trivial \( \alpha_1=\alpha_2 =...=\alpha_n=0\)
    Se dice que \( \ A\) es un \(\mathbf {conjunto \ linealmente \ independiente}\)
    Si hay otras soluciones entonces
    Se dice que \( \ A\) es un \(\mathbf {conjunto \ linealmente \ dependiente}\)
  12. 12BaseUn conj de vectores \( \ A= v_1, v_2,...,v_n \in V \)
    Se denomina \( \mathbf{ Base } \) si y sólo si:
    \( \bullet \) \( A\) es LI
    \( \bullet \) \( A\) genera a \( V\)
  13. 13Propiedades de un ev de dimensión finita \( n \)Sea \( \ V \) un ev de dim finita \( n \):
    \( \bullet \) \( n + 1\) o más vectores son LD
    \( \bullet \) Todo conjunto LI \( S = v_1,v_2,...,v_n\) con \( \ n\) es una \(\mathbf {Base} \) \ de \( \ V \)
    SI \( S \) genera un \( V \) -ev
    \( \bullet \) Cualquier número máximo de vectores \(\mathbf { LI }\) en \( S \) es una \(\mathbf {Base} \) de \( V \)
    \( \bullet \) Si se suprimen de \( S \) todo vector que sea \(\mathbf { CLI}\) de los precedentes, los vectores restantes constituyen una \(\mathbf {Base} \)de \( V \)
  14. 14DimensiónLa \( Dim \) de un \( V \) -ev es la cantidad de vectores que componen una \(\mathbf {Base}\) de \( V \)
    \( \bullet \) SI \( B \) = { \( \ v_1,v_2,...,v_n\) } es una \(\mathbf {Base}\) de \( V \), la \(\mathbf {dim = n}\)
  15. 15Propiedades de \( \ dim \)Si \(\mathbf {\ dim( \ V ) = n}\):
    \( \bullet \) Todo conjunto de \( n \) vectores LI en \( \ V \) es una \(\mathbf {\ Base}\)
    \( \bullet \) Todo conjunto de \( n \) vectores que genere \( \ V \) es una \(\mathbf {\ Base}\)
    \( \bullet \) Todo conjunto de más \( n \) vectores en el \( \ V \) -ev es LD.
    \( \bullet \) Todo conjunto LI en \( \ V \) puede extenderse a una \( \mathbf {Base}\)
  16. 16CoordenadasSea \(\ B \) = { \( v_1, v_2, ..., v_n \)} una base de \( \ V \)
    Para cada \( u \in \ V \) existen únicos escalares \( \alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n \in \ R \) tales que:
    \( u = \alpha_1v_1, \alpha_2v_2,..., \alpha_nv_n \)
    Estos escalares se denominan \( \mathbf {Coordenadas \ del \ vector \ u \ respecto \ de \ la \ base \ B } \)
    \[ \left [ u \right ]_B \left(
    \begin{array}{c} \alpha_1 \\
    \alpha_2 \\
    ... \\ \alpha_n \end{array}
    \right)
    \]
  17. 17RangoSe denomina \(\mathbf {Rango \ (Rg)}\) de una matriz al número de filas LI
  18. 18Intersección de subespacios\(\mathbf {S \cap T}\) = {\( v \in V: v \in S \wedge v \in T\)}
  19. 19Demostrar que \(\mathbf {S \bigcap T}\) es un SEV\( \bullet \) sea \(u,v \in S \cap T \)
    \(\Rightarrow u \in S \ ^\wedge \ u \in T \ \wedge \ v \in S \ ^\wedge \ v \in T \)
    \(\ u \in S \ ^\wedge \ v \in S \ \Rightarrow u+v \in S \ [1]\)
    \(\ u \in T \ ^\wedge \ v \in T \ \Rightarrow u+v \in T\ [2]\)
    De [1] y [2] se deduce que \( u+v \in S \cap T\)
  20. 20Demostrar que \( u \in \mathbb{S} \ \cap \mathbb{T} \)\( \bullet \) sea \(u \in \mathbb {S} \ ^\wedge \ u \in \mathbb {T} \ , \ \alpha \in \mathbb{R} \)
    \( \Rightarrow \alpha u \in \mathbb{S}\ \ ^\wedge \ \alpha u \in \mathbb{T} \Longrightarrow u \in \mathbb{S} \cap \mathbb{T}\)
  21. 21Suma de sevDados \(\mathbb{S ,T}\) sev de \(\mathbb{V}\) se define la suma como:
    \( \mathbb{S + T}\)= { \(v \in \mathbb{V} \) : \( v = v_1 + v_2\), con \( v_1 \in \mathbb{S} \ , v_2 \in \mathbb{T} \)
  22. 22Conjunto generador de la suma de sevSi se conocen los generadores de \(S\) y \(T\) se pueden hallar los generadores de la suma:
    \(S\) = \(\mathbf{gen}\){\(v_1,v_2,...,v_q\)}
    \(T\) = \(\mathbf{gen}\){\(w_1,w_2,...,w_r\)}
    \(S+T\) = \(\mathbf{gen}\){ \(v_1,v_2,...,v_q,w_1,w_2,...,w_r\)}
    Dadas las bases \(B_S\) = \(v_1,v_2,...,v_q\) y \(B_T\) = \(w_1,w_2,...,w_r\)
    Resulta: {\(v_1,...,v_q,w_1,..,w_r\)} \(\mathbf{Conjunto \ generador}\) de la suma
  23. 23Suma Directa de sevLa suma de dos sev es directa si y sólo si la intersección de los sev es el vector nulo:
    \(S \oplus T \Leftrightarrow S \cap T\) = { \(0_v\)}
  24. 24Teorema de la dimensión de la sumaSean \( S_1\) y \(S_2\) sev de un ev \( \mathbb {V} \) de dimensión finita, entonces:
    \(\mathbf{dim}(S_1 + S_2) = \mathbf{dim}(S_1) + \mathbf{dim}(S_2) + \mathbf {dim(S_1 \cap S_2)} \)
    En el caso que la suma sea directa, como \(S_1 \cap S_2\) = {\(0_v\)} resulta:
    \(\mathbf{dim}(S_1 \oplus S_2)\) = \(\mathbf{dim}(S_1) + \mathbf{dim}(S_2)\)
  25. 25Producto internoUn \(\ PI\) en un ev real \(\mathbb{V} \) es una operación que asigna a cada par de vectores \(\ u \ y \ v \) de\(\mathbb{ V} \) un número real \(\ u \cdot \ v \) tak que se verifica (para todo vector \( u,v,w\) de \(\mathbb{V} \) y todo escalar \(\alpha \):
    1 - \(u \cdot v = v \cdot u\)
    2 - \(u \cdot ( v+w ) = ( u \cdot v ) + ( u \cdot w ) \)
    3 - \(\alpha u \cdot v = \alpha ( u \cdot w )\)
    4 - \(u \cdot u \geq 0\) y \( \ u \cdot u = 0 \Leftrightarrow u = 0_v \)
  26. 26Condición de Ortogonalidad\(u \perp v \Leftrightarrow u \cdot v = 0 \)
  27. 27Complemento Ortogonal de un sevSea \(S\) sev de \(\mathbb{V}\) (ev con PI)
    El \(complemento \ ortogonal \) de \(S\), \(S^{\perp}\) es el conjunto de vectores de \(\mathbb{V}\) que son ortogonales a cada uno de los vectores de \(S\):
    \(S^{\perp}\) = {\( v \in \mathbb{V} \ : v \cdot w = 0 \space \forall \ w \in S\)}
  28. 28Propiedades del complemento ortogonalSea \( \mathbb{V}\) un ev de dim finita, con PI, y sea \( S \) un sev de \( \mathbb{V}\) se verifican las siguientes propiedades:
    1 - \( (S^{\perp})^{\perp} = S \)
    2 - \(\mathbb{V}^{\perp} = \) y {\( 0_v\)} \(^{\perp}\) = \(\mathbb {V}\)
    3 - \( S \cap S^{\perp} =\) {\( 0_v\)}
    4 - \( S + S^{\perp} =\mathbb{V}\)

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Description
Se tratan los temas bases de Álgebra Lineal 2 de Ingeniería.
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Daro Gmnz
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