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7. ECUACIONES DE MAXWELL
- 7.1 LEY CIRCUITAL DE AMPERE
PARA CORRIENTES NO
ESTACIONARIAS
- La ley circuital de Ampére tiene una
forma diferente en el caso de
corrientes no estacionarias.
- Considere un sistema de corriente no estacionario en un
cierto instante de tiempo. Dividamos el campo de
corriente en tubos muy delgados, casi filamentosos, a
cuyas superficies el vector de densidad de corriente ?⃗ es
tangencial en todos los puntos.
- Conductor con corriente no
estacionaria
- En el caso estacionario, tales tubos se cierran sobre sí mismos, y
la intensidad de corriente a través de cualquier sección
transversal de un tubo es la misma. En general, esto no es así en
el caso no estacionario, porque la distribución de carga variable
en el tiempo puede existir a lo largo de los tubos.
- Consideremos por lo tanto una corriente cuasi-filamentaria
abierta situada en el vacío. y suponga que el valor instantáneo
de la corriente (variable en el tiempo) en el filamento es i. y las
cargas correspondientes (variables en el tiempo) en sus
extremos son Q y Q
- Corriente filamental con cargas
iguales y signos opuestos en sus
extremos
- La intensidad ? de la corriente es, por supuesto, constante a lo largo del
filamento en cualquier instante: en consecuencia, la integral de línea del vector
de intensidad de campo magnético ?⃗⃗ a lo largo de un contorno cerrado
cercano C viene dada por la ecuación
- donde Ω1 y Ω2 son ángulos sólidos subtendidos en el
punto inicial 1 y el punto final 2 del filamento por el
contorno C. La única diferencia entre la ecuación anterior y esta :
- Es que ? representa la intensidad
instantánea de la corriente, mientras que ?
en la ecuación anterior denota una
corriente constante en parte de un
filamento de corriente cerrado.
- Ley de Ampere: La Ley de Ampere establece que la integral
de línea de ?⃗⃗ alrededor de cualquier trayectoria cerrada es
igual a ?0 multiplicado por la corriente neta a través del
área encerrada por la trayectoria. El sentido positivo de la
corriente se determina mediante la regla de la mano
derecha.
- Ejemplo Demostrativo: Un
capacitor que se carga con una
corriente ?? tiene una corriente
de desplazamiento igual a ??
entre las placas, con una
densidad de corriente de
desplazamiento ?? = ?0 ??⃗⁄??.
Ésta se puede considerar como
la fuente del campo magnético
entre las placas
- Ejemplo Demostrativo: Un
capacitor que se carga con una
corriente ?? tiene una corriente
de desplazamiento igual a ??
entre las placas, con una
densidad de corriente de
desplazamiento ?? = ?0 ??⃗⁄??.
Ésta se puede considerar como
la fuente del campo magnético
entre las placas
- Corriente de desplazamiento. Un campo
eléctrico que varía en el tiempo genera una
corriente de desplazamiento ??, que actúa
como fuente de un campo magnético
exactamente de la misma manera que una
corriente de conducción.
- Ley de Ampere: La Ley de Ampere establece que la integral
de línea de ?⃗⃗ alrededor de cualquier trayectoria cerrada es
igual a ?0 multiplicado por la corriente neta a través del
área encerrada por la trayectoria. El sentido positivo de la
corriente se determina mediante la regla de la mano
derecha.
- donde Ω1 y Ω2 son ángulos sólidos subtendidos en el
punto inicial 1 y el punto final 2 del filamento por el
contorno C. La única diferencia entre la ecuación anterior y esta :
- Corriente filamental con cargas
iguales y signos opuestos en sus
extremos
- Consideremos por lo tanto una corriente cuasi-filamentaria
abierta situada en el vacío. y suponga que el valor instantáneo
de la corriente (variable en el tiempo) en el filamento es i. y las
cargas correspondientes (variables en el tiempo) en sus
extremos son Q y Q
- Dado que el vector ?⃗ es tangencial a dicho tubo, no
pueden salir ni entrar cargas, lo que significa que siempre
podemos imaginar que la distribución de carga a lo largo
del tubo se divide en pares de cargas variables de tiempo
iguales y opuestas, entre las cuales existe corriente
variable.
- La corriente no estacionaria total en una sección transversal del
tubo viene dada por la suma de las corrientes parciales entre todos
estos pares de carga asociados variables en el tiempo situados en
lados opuestos de la sección transversal que se está considerando.
- Estas corrientes parciales están conectadas con las cargas en las que
terminan por la ecuación de continuidad. Siempre podemos representar
un sistema de corriente no estacionario como un grupo de tubos
filamentosos abiertos, superpuestos, de corrientes parciales.
- Así, un filamento de corriente abierta, con cargas de
igual magnitud y de signos opuestos en sus
extremos. puede considerarse como un bloque de
construcción de cualquier sistema de corriente no
estacionario
- Así, un filamento de corriente abierta, con cargas de
igual magnitud y de signos opuestos en sus
extremos. puede considerarse como un bloque de
construcción de cualquier sistema de corriente no
estacionario
- Estas corrientes parciales están conectadas con las cargas en las que
terminan por la ecuación de continuidad. Siempre podemos representar
un sistema de corriente no estacionario como un grupo de tubos
filamentosos abiertos, superpuestos, de corrientes parciales.
- La corriente no estacionaria total en una sección transversal del
tubo viene dada por la suma de las corrientes parciales entre todos
estos pares de carga asociados variables en el tiempo situados en
lados opuestos de la sección transversal que se está considerando.
- Conductor con corriente no
estacionaria
- Considere un sistema de corriente no estacionario en un
cierto instante de tiempo. Dividamos el campo de
corriente en tubos muy delgados, casi filamentosos, a
cuyas superficies el vector de densidad de corriente ?⃗ es
tangencial en todos los puntos.
- La ley circuital de Ampére tiene una
forma diferente en el caso de
corrientes no estacionarias.
- 7.2 ECUACIONES GENERALES DEL
CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
(ECUACIONES DE MAXWELL).
- PRIMERA ECUACIÓN
DE MAXWELL
- Partimos de la ley de
induccion
electromagnetica de
Faraday
- Aplicamos la Ley de Stoke
- (Forma diferencial de la Ley de
Maxwell-Faraday. El campo
electromagnético cuasi estacionario).
- (Forma diferencial de la Ley de
Maxwell-Faraday. El campo
electromagnético cuasi estacionario).
- Aplicamos la Ley de Stoke
- Partimos de la ley de
induccion
electromagnetica de
Faraday
- SEGUNDA ECUACIÓN
DE MAXWELL.
- Aplicando el teorema de
la divergencia
- (Ley de Gauss, el campo
eléctrico estático)
- (Ley de Gauss, el campo
eléctrico estático)
- Aplicando el teorema de
la divergencia
- TERCERA ECUACIÓN
DE MAXWELL.
- Aplicando la Ley de Stoke
- Aplicamos en cada término, la divergencia
- Ecuación de la continuidad
- I = Corriente de conduccion.
ID= Corriente de
desplazamiento
- Corriente de conducción I y Corriente de
desplazamiento ID
- Aplicando la Ley de Stoke
- Aplicamos en cada término, la
divergencia
- La primera ecuación obtenida la
reemplazamos y reducimos
- Finalmente esta ecuación obtenida
reemplazamos en la segunda ecuación
que encontramos anteriormente
- (la ley circuital generalizada de Ampère. el
campo electromagnético no estacionario).
- (la ley circuital generalizada de Ampère. el
campo electromagnético no estacionario).
- Finalmente esta ecuación obtenida
reemplazamos en la segunda ecuación
que encontramos anteriormente
- La primera ecuación obtenida la
reemplazamos y reducimos
- Aplicamos en cada término, la
divergencia
- Aplicando la Ley de Stoke
- Corriente de conducción I y Corriente de
desplazamiento ID
- I = Corriente de conduccion.
ID= Corriente de
desplazamiento
- Ecuación de la continuidad
- No coincide con la ecuación
de la continuidad
- Aplicamos en cada término, la divergencia
- Aplicando la Ley de Stoke
- CUARTA ECUACIÓN
DE MAXWELL.
- Aplicando el
teorema de la
divergencia
- (la ley de conservación del flujo magnético. el
campo magnético estático).
- (la ley de conservación del flujo magnético. el
campo magnético estático).
- Aplicando el
teorema de la
divergencia
- Tabla de resumen
de ecuaciones de
Maxwell
- Estas ecuaciones son válidas para campos magnéticos y dieléctricos
variables o no con el tiempo. Para completar el set de las ecuaciones de
Maxwell, adicionamos las relaciones entre vectores: ?⃗⃗, ?⃗, ?⃗, ?⃗ y ?⃗ ? ;
y la relación entre los vectores: ?⃗, ?⃗ y ?⃗.
- Para un medio
homogéneo, lineal e
isotrópico:
- Estas ecuaciones son válidas para campos magnéticos y dieléctricos
variables o no con el tiempo. Para completar el set de las ecuaciones de
Maxwell, adicionamos las relaciones entre vectores: ?⃗⃗, ?⃗, ?⃗, ?⃗ y ?⃗ ? ;
y la relación entre los vectores: ?⃗, ?⃗ y ?⃗.
- PRIMERA ECUACIÓN
DE MAXWELL
- 7.3 FORMA COMPLEJA DE
LAS ECUACIONES DE
MAXWELL
- Las fuentes primarias de cualquier campo
electromagnético son las corrientes y las cargas
gratuitas. En la práctica, estos varían con mayor
frecuencia en el tiempo siguiendo una ley armónica
(sinusoidal) muy simple.
- Siempre que el medio sea lineal, todos los vectores
de campo también variarán de acuerdo con la ley
sinusoidal. Supongamos que la frecuencia de la
corriente que produce un campo electromagnético
es f.
- El producto 2πf=w generalmente se denomina
frecuencia angular. Los vectores de campo variarán
en todos los puntos con la misma frecuencia. Así
podemos escribir, por ejemplo.
- Los vectores A y B son funciones
de las coordenadas espaciales y
del tiempo.
- Los vectores A y B son funciones
de las coordenadas espaciales y
del tiempo.
- Re= Es la parte real de la ecuación
- Luego de conocer todos estos
datos , partimos de la forma
diferencial de la ley de
Maxwell-Faraday
- Reemplazamos los datos previamente
conocidos y reducimos
- Reemplazamos los datos previamente
conocidos y reducimos
- Re= Es la parte real de la ecuación
- TABLA DE ECUACIONES DE
MAXWELL EN FORMA INTEGRAL Y
COMPLEJA
- El producto 2πf=w generalmente se denomina
frecuencia angular. Los vectores de campo variarán
en todos los puntos con la misma frecuencia. Así
podemos escribir, por ejemplo.
- Siempre que el medio sea lineal, todos los vectores
de campo también variarán de acuerdo con la ley
sinusoidal. Supongamos que la frecuencia de la
corriente que produce un campo electromagnético
es f.
- Las fuentes primarias de cualquier campo
electromagnético son las corrientes y las cargas
gratuitas. En la práctica, estos varían con mayor
frecuencia en el tiempo siguiendo una ley armónica
(sinusoidal) muy simple.
- 7.4 CONDICIONES DE FRONTERA
- Como antes, el término "condiciones de frontera" se refiere a las
relaciones entre los componentes normal y tangencial de los
vectores de campo en los dos lados de una interfaz entre dos
medios diferentes. Las condiciones de contorno generales se
pueden derivar exactamente de la misma forma que en el caso de
condiciones de contorno especiales.
- De hecho, la forma de las condiciones de
contorno es exactamente la misma que antes,
aunque el significado es, por supuesto,
diferente. Ahora son aplicables a todos los casos
de campos electromagnéticos.
- Las componentes tangenciales del
vector de intensidad del campo eléctrico
en una interfaz de dos medios diferentes
son iguales
- Condiciones de frontera para
las componentes normales del
vector de desplazamiento ?⃗
- Si ?? = 0
- Si ?? = 0
- Condiciones de frontera para las
componentes normales del vector ?⃗
- Condiciones de frontera para las
componentes normales del vector ?
- Condiciones de frontera para
las componentes
tangenciales del vector ?⃗
- Para dieléctricos lineales
- Para dieléctricos lineales
- Ya que el área tiende a 0
- Condiciones de frontera para las
componentes normales del vector ?⃗
- Condiciones de frontera para las
componentes tangenciales del vector
?⃗ ? ?⃗
- Ya que el area tiende a 0
- Si ?? = 0
- Para un medio lineal
- Conductor perfecto, es aquel cuya
conductividad ? = ∞. No existe campo
magnético dentro de un conductor perfecto.
- Para un medio lineal
- Si ?? = 0
- Ya que el area tiende a 0
- Condiciones de frontera para las
componentes tangenciales del vector
?⃗ ? ?⃗
- Condiciones de frontera para
las componentes normales del
vector de desplazamiento ?⃗
- Las componentes tangenciales del
vector de intensidad del campo eléctrico
en una interfaz de dos medios diferentes
son iguales
- De hecho, la forma de las condiciones de
contorno es exactamente la misma que antes,
aunque el significado es, por supuesto,
diferente. Ahora son aplicables a todos los casos
de campos electromagnéticos.
- Como antes, el término "condiciones de frontera" se refiere a las
relaciones entre los componentes normal y tangencial de los
vectores de campo en los dos lados de una interfaz entre dos
medios diferentes. Las condiciones de contorno generales se
pueden derivar exactamente de la misma forma que en el caso de
condiciones de contorno especiales.
- 7.5 TEOREMA DE
POYNTING
- El teorema de Poynting es la expresión de la ley
de conservación de la energía aplicada a los
campos clectromagnéticos.
- Toda la potencia o energía electromagnética se transmite a
través de los campos electromagnéticos antes que a través
de otros dispositivos que sirven para transmitir corriente
eléctrica.
- Partimos del vector de Poynting,
representado por:
- En un medio lineal e isotrópico
- Aplicamos integral a cada lado, luego de
integrar y reducir tenemos:
- Potencia consumida por efecto Joule
- Energia Electrica
- Representa el flujo de potencia a
través de la superficie S, o la
velocidad con que fluye la potencia
a través de la superficie S.
- Teorema de Poynting
- Vector de Poynting
- Vector de Poynting
- Teorema de Poynting
- Representa el flujo de potencia a
través de la superficie S, o la
velocidad con que fluye la potencia
a través de la superficie S.
- Energia Electrica
- Densidad volumetrica
de energia
almacenada en el
campo electrico
- Energia Magnetica
- Densidad volumetrica de energia
almacenada en el campo magnetico
- Potencia consumida por efecto Joule
- Aplicamos integral a cada lado, luego de
integrar y reducir tenemos:
- En un medio lineal e isotrópico
- Partimos del vector de Poynting,
representado por:
- Toda la potencia o energía electromagnética se transmite a
través de los campos electromagnéticos antes que a través
de otros dispositivos que sirven para transmitir corriente
eléctrica.
- El teorema de Poynting es la expresión de la ley
de conservación de la energía aplicada a los
campos clectromagnéticos.
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