ESPACIO VECTORIAL

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espacios vectoriales algebra lineal
Julieth Mejia8340
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ESPACIO VECTORIAL
  1. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
    1. CONCEPTO
      1. DEPENDENCIA LINEAL
        1. Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.
        2. INDEPENDENCIA LINEAL
          1. El concepto de independencia lineal se puede ver con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2, 3) y el vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior nos indica que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal no trivial de dos vectores v1 y v2. No trivial hace referencia a que los coeficientes de cada vector no son todos cero.
            1. Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0
          2. TEOREMA
            1. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes, si y solo si, uno es múltiplo escalar del otro.
          3. SUBESPACIO
            1. CONCEPTO
              1. Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales en si, haciendo una analogía, los subespacios son Espacios Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de donde se obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre. Entonces los Hijos Heredan las características del padre, así los subespacios heredan las operaciones del espacio que los origino.
                1. Sea el subconjunto U no vacío contenido en un espacio vectorial V, asumiendo que U es espacio vectorial en si (cumple los 10 axiomas) Entonces se dice que U es un subespacio de V. Donde U ≤ V
                2. TEOREMAS
                  1. INTERSECCION ENTRE SUBESPACIOS
                    1. En un espacio vectorial puede haber gran cantidad de subespacios propios. La situación es determinar que sucede cuando dos o más subespacios se interceptan en dicho espacio.
                      1. Sean V1 y V2 dos subespacios del espacio vectorial V, entonces la intersección V1 ∩ V2 pertenecen también a V.
                      2. PRUEBA DE SUBESPACIO
                        1. Sea U un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V, entonces U se considera un subespacio de V si, y solo si, se cumplen las siguientes propiedades de cerradura. 1. Si u y v son vectores que están en U, entonces u + v estará en V. 2. Si u es vector en U y k un escalar, entonces ku estará en U.
                    2. ESPACIO VECTORIAL
                      1. CONCEPTO
                        1. Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, sobre los que están definidas las siguientes operaciones: 1. Suma Vectorial 2. Multiplicación por Escalar. Por otro lado, sea u, v, w,… elementos que están en V; además, los escalares c, d, e,… Entonces V se le llama espacio vectorial, si cumple los axiomas.
                        2. PROPIEDADES
                          1. Axiomas de la Suma:
                            1. 1. Si u ∈ V y v ∈ V entonces: (u + v) ∈ V Ley Clausurativa (cerradura suma) 2. u + v = v + u Ley Conmutativa 3. u + (v + w) = (u + v) + w Ley asociativa 4. El vector 0 ∈ V Para todo u ∈ V → u + 0 = u Ley Modulativa (Neutro aditivo) 5. Para todo u ∈ V existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0 Inverso Aditivo.
                            2. Axiomas de la Multiplicación por Escalar:
                              1. 6. Si u ∈ V y c un escalar, cv ∈ V Ley Clausurativa (cerradura multiplicación) 7. c (u + v) = cu + cv Primera Ley Distributiva 8. (c + d) u = cu + du Segunda Ley Distributiva 9. c (d * u) = (c * d) u Ley Asociativa 10. 1 * u = u Ley Modulativa (Identidad escalar)
                            3. EJEMPLO
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