APLICACIONES DE LA DERIVADA

Objetivo : Conocer algunas propiedades importantes de la s funciones, asi como la representacion grafica y la interpretacion analitica para lograr un mejor entendimiento.
RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA Ejemplos. Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.
ANGULO ENTRE DOS CURVAS Dadas dos curvas cualesquiera, el ángulo de intersección entre ellas está dado por el ángulo formado por sus tangentes en el punto de intersección.
1. El procedimiento para obtener el ángulo de intersección entre dos curvas es el siguiente: 1. Se calculan las coordenadas de los puntos de intersección, resolviendo las ecuaciones formadas por las funciones. 2. Se derivan las ecuaciones para encontrar las pendientes de las tangentes de las curvas para cada uno de los puntos de intersección. 3. Se aplica la siguiente expresión:
  1. - En caso de que se obtenga un ángulo agudo θ que sea negativo, el ángulo de intersección es: -θ . - En caso de que se obtenga un ángulo no agudo θ que sea positivo, el ángulo de intersección es: 180°-θ . - En caso de que se obtenga un ángulo no agudo θ que sea negativo, el ángulo de intersección es: 180°+θ .
    1. Ejemplos. Obtener el ángulo de intersección entre las siguientes curvas:
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1. Función creciente Sea y=f(x) una función continua en el intervalo (a,b). Si se cumple que dx/dy mayor que 0, la función es creciente.
2. Función decreciente Sea y = f (x) una función continua en el intervalo (a, b). Si se cumple que dx/dy< 0 , la función es decreciente.
3. CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA Si la derivada de una función es cero, se tiene un punto critico (PC) y existen dos casos: 1. Si pasa de signo (+) a (-), la función tiene un máximo relativo. 2. Si pasa de signo (-) a (+), la función tiene un mínimo relativo. El máximo más grande se denomina máximo absoluto. El mínimo más pequeño se denomina mínimo absoluto. Si dx/dy no cambia de signo, la derivada no tiene ni máximo ni mínimo.
4. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA · Si dx/dy= 0 y d^2y / dx^2 <0 , la función y = f (x) tiene un máximo relativo en el punto en cuestión. · Si dx/dy= 0 y d^2y / dx^2 >0 , la función y = f (x) tiene un mínimo relativo en el punto en cuestión
5. CONCAVIDAD Un arco de curva y = f (x) es cóncavo, si cada uno de sus puntos están situados por encima de la tangente. Como la pendiente aumenta: d^2y / dx^2 >0
6. CONVEXIVIDAD Un arco de curva y = f (x) es convexo, si cada uno de sus puntos están situados por debajo de la tangente. Como la pendiente disminuye: d^2y / dx^2 <0
7. PUNTO DE INFLEXIÒN (PI) Es el punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Una curva tiene punto de inflexión en 1 x si:
TEOREMA DE ROLLE
1. Sea y = f (x) una función que cumple con las condiciones siguientes: i. y = f (x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] ii. y = f (x) es derivable en el intervalo abierto (a,b) iii. f (a) = f (b) Por lo tanto existe, al menos un valor xÎ(a,b), para el cual f '(x) = 0 Demostración: Existen tres casos:
  1. 1. Si f (x) = 0 en el intervalo (a, b), entonces f '(x) = 0 , para todo x , y así x puede ser cualquier valor en (a, b) .
  2. 2. Si f (x) está por encima de f (a) = f (b) en algún punto del intervalo (a, b), entonces en un punto 2 x la función pasa de ser creciente a decreciente. Por definición, el punto donde ocurre eso es un máximo, por lo tanto '( ) 0 2 f x = , en dicho intervalo.
  3. 3. Si f (x) está por debajo de f (a) = f (b) en algún punto del intervalo (a, b), entonces en un punto 1 x la función pasa de ser decreciente a creciente. Por definición, el punto donde ocurre eso es un mínimo, por lo tanto '( ) 0 1 f x = , en dicho intervalo.
2. Puesto que toda función debe estar en uno de estos tres casos, el teorema queda demostrado. El teorema establece que por lo menos existe un punto de la gráfica de y = f (x), en el intervalo (a,b) en donde se tiene pendiente cero (tangente paralela al eje x ) si sus extremos son de igual altura, ( f (a) = f (b)).
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Si y = f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) , existe por lo menos un valor x (a,b) 1 Î en que se cumple que:
2. Demostración: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:
3. construyendo la función F(x) pasando el término del segundo miembro al primero:
4. sustituyendo x = a y después x = b, se tiene:
5. Se aprecia que F(x) satisface todas las hipótesis del Teorema de Rolle. Por lo tanto debe existir un valor tal que F´(x1) = 0 Ahora, derivando F(x):
6. Como '( ) 0 1 F x = , esto implica que:
7. Por lo tanto el teorema queda demostrado. El teorema establece que existe por lo menos un punto ( ) 1 1 1 P x , y de la curva entre los puntos P y Q en la cual la recta tangente a dicha curva es paralela a la secante que pasa por dichos puntos
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN OTRAS DISCIPLINAS
1. Sea C = f (x) la función de costo que una compañía incurre al producir x unidades de un cierto artículo o proveer cierto servicio. El costo marginal se define como la razón instantánea de cambio del costo respecto al número de artículos producidos o de bienes ofrecidos:
2. El costo marginal representa el costo de producir un artículo adicional de las normalmente producidas. Para fines prácticos, la función de costo se modela a través de una función polinomial de la forma:
Propuestas de aplicación de las derivadas a casos reales en la vida cotidiana
1. Un ejemplo practico de la vida cotidiana, seria este: Te ofrecen a la venta un auto, pero el que te lo vende solo te da como referencia que este acelera durante el arranque a una velocidad y distancia de 3 m/seg. Pero tu quieres conocer que distancia nececitas recorrer para pasar a 120 km/hr y el tiempo que requieres para esto, entonces lo planteas de la siguiente manera:
  1. Se plantea asi.....................
  2. La operacion es la inversa de la derivada, pero el concepto que se maneja es el mismo
  3. Queda entonces de la siguiente manera.........................
  4. Lo que nos queda es el espacio que nos falta por recorrer, quedando.....
2. otro ejemplo de la vida cotidiana, seria este: En una parcela, que te quieren vender tienen 24 arboles, de los cuales te dan 600 frutos cada uno. Se piensa que por cada arbol adicional plantado, la recoleccion disminuira a 15 frutos menos. Que cantidad de arboles en la parcela es la mejor para que en esta la ganancia sea la maxima??. El planteamiento sera el siguiente:
  1. Le llamaremos x al numero de arboles que se plantan, entonces el numero de frutos seria:
  2. Buscaremos x para que f (x) sea el maximo........
  3. Ahora nos queda ver que es el maximo: f´(x) = -30 ; f´8 = -30 < 0 ⇒ en x = 8, se dara un maximo.
  4. Por lo tanto despues de todo lo calculado, se deben de plantar 8 arboles. Entonces tendremos un total de produccion 24 + 8 = 32 arboles que nos daran un total de 15 360 frutas.

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