Calculo I - Limites

Limites
1. Cálculo de Limites
  1. Teorema 1
    1. Sejam a e k números reais quaisquer. Então
      1. (i) lim x→ a k = k
      2. (ii) limx → a x = a
      3. (iii)lim x → 0+ 1/x = +∞ (iv)lim x → 0- 1/x = -∞
  2. Teorema 2
    1. Sejam a pertencente aos reais, f(x) e g(x) duas funções reais tais que limx → a f(x) = L1 e limx → a g(x) = L2. Então
      1. (i) lim x → a [f(x) + g(x) ] = L1+L2 (ii) lim x → a [f(x) - g(x) ] = L1-L2
      2. (iii) lim x → a [f(x) * g(x) ] = L1*L2
      3. (iv) lim x → a [f(x) / g(x) ] = L1/L2; L2 ≠ 0 (v) lim x → a ²√f(x) = ²√L1; L1 ≥ 0
  3. Teorema 3
    1. Seja f(x) = c0 + c1x +...+ cnx^n, então é uma função polinominal de grau n
      1. lim x → a f(x) = f(a)
  4. Teorema 4
    1. Seja f(x) uma função racional em que p e q são polinômios. Então se a pertence aos Reais está no domínio de f
      1. lim x → a f(x) = lim x → a p(x)/ q(x) = p(a)/q(a); q(a)≠ 0
      2. Se o denominador q(x) → 0 quando x → a, temos que a fração p(x)/q(x) assume valores cada vez maiores (em valor absoluto)
        lim x → a p(x)/ q(x) = ±∞
2. Limite de uma função
  1. Teoremas
    1. 1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.
    2. 2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.
    3. 3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.
    4. 4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.
  2. Reta Tangente
    1. A reta tangente ao gráfico de uma função nem sempre existe.
      1. Quando o limite existe, seu valor M tg é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, y0)
      2. Se dois pontos distintos P(x0, y0 e Q(x1, y1) fazem parte da curva y = f(x) , o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos é
      3. A equação da reta tangente é: Y = mx + 1 - m Y = m(x-1) +1
3. Continuidade de Funções
  1. Contínuas
    1. (i) f(a) existe; (ii) limx → a f(x) existe; (iii) lim x→a f(x) = f(a). Se f não é contínua em x = a dizemos que f é descontínua em x = a.
      1. Propriedades
  2. Não contínuas
    1. Somos levados a dizer que a função g não é contínua no ponto ou que 0 é um ponto de descontinuidade da função.
4. Lateral
  1. Esquerda
    1. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, ou seja, x→a com x<a. Escrevemos usando um "-".
  2. Direita
    1. Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, ou seja, x→a com x>a. Escrevemos: usando um "+".
  3. Está ligada a noção de proximidade. Dados uma função f: A → R e um ponto conveniente a pertencendo aos Reais, para saber se o valor a imagem f(x) se aproxima quando x se aproxima de a .
  4. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
  5. Assíntotas
    1. Assíntotas são retas fixas das quais temos a função principal se aproximando, mas nunca tocando.
    2. Verticais
      1. Nesse caso, temos uma função f(x) = 1/ (x -1 ). Essa função não pode assumir o valor de x = 1 pois teríamos 1/0, ao aplicarmos os limites laterais temos:
    3. Horizontais
      1. Para as assíntotas horizontais, testamos dois limites: um para x indo para mais e outro para x indo para menos infinito. Se um ou os dois limites derem um valor infinito teremos assíntota horizontal.
      2. Não é necessário que os dois limites deem iguais a uma constante, só é preciso que um deles dê. Se os dois limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma de cada constante
5. Conceito
  1. Importante no estudo de problemas concretos. Utilizado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.
    1. lim x→a+ f(x) = f(a) e lim x→b− f(x) = f(b).
    2. Limites podem ou não existir, caso ambos existam, eles podem ou não coincidir. Mesmo quando coincidirem , esse valor em comum pode ou não ser igual a f(a) e pode até acontecer que a função f nem esteja definida no valor a.
6. Limites Infinitos
  1. As operações que envolvem ±∞ e que possuem valores reais, ao contrário das operações que geram indeterminação.
    1. Se f(x) = p(x)/q(x) onde q(x) = 0 então lim x → a f(x) = ±∞
      1. Nesse caso, o sinal do infinito é determinado pelo sinal de p(a) e pela direção que p(a) → 0, ou seja, se por valores maiores que zero será +∞ ou menos que zero -∞.
  2. Teorema
7. Limites NO infinito
  1. O comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x→ +∞ ) ou quando x decresce arbitrariamente (x→ -∞).
    1. Limx→ +∞ h(x) = 0 Limx → -∞ h(x) = 0
    2. se uma constante estiver dividida por ±∞ (K / ±∞ = 0) seu resultante será 0;
    3. se a constante tiver dividida por ±0 (K / ±0 = ±∞) seu resultado será ±∞
  2. Teorema
    1. (i) Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de infinito é L se f(x) assume valores arbitrariamente próximos de L, desde que x seja suficientemente grande. Dizemos nesse caso que y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
    2. Se f(x) assume valores arbitrariamente grandes em valor absoluto, com f(x) < 0, desde que x seja suficientemente grande
      1. (ii) Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de infinito é infinito se f(x) assume valores arbitrariamente grandes desde que x seja suficientemente grande
    3. (iii) Seja n um número inteiro positivo.

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