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Description
Mind Map by Bryan Mullo, updated more than 1 year ago
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Created by Bryan Mullo
almost 4 years ago
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Vectores en R^n
- En este apartado se introduce el concepto de vectores en el
espacio n-dimensional asi como el concepto producto punto
entre vectores en el espacio n-dimensional. Se incluyen
anotaciones geom´etricas sobre estos conceptos.
- vector
- Un vector n es arreglo vertical de
n numeros reales de la forma:
- Un vector n es arreglo vertical de
n numeros reales de la forma:
- Igualdad entre
vectores
- Dos vectores x y y se dicen vectores
iguales si tienen la misma
dimensión y las coordenadas
correspondientes son todas iguales.
- Dos vectores x y y se dicen vectores
iguales si tienen la misma
dimensión y las coordenadas
correspondientes son todas iguales.
- Suma entre
vectores
- La suma entre vectores x y y sólo puede
realizarse cuando los vectores tienen la misma
dimensión, en cuyo caso la suma se calcula:
- La suma entre vectores x y y sólo puede
realizarse cuando los vectores tienen la misma
dimensión, en cuyo caso la suma se calcula:
- Producto por
escalares
- El producto de un escalar c (número real) por un vector x da
como resultado un vector. Este producto se define como:
- El producto de un escalar c (número real) por un vector x da
como resultado un vector. Este producto se define como:
- Propiedades: Las operaciones de
suma entre vectores y producto de
un escalar por un vector satisfacen
las siguientes propiedades:
- 1.- Ley asociativa de la suma de vectores:
- 2.- Ley conmutativa de la suma de vectores:
- 3.- Vector cero:
- 4.- Inversos aditivos:
- 5.- Propiedad distributiva del producto sobre la suma:
- 6.- Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto:
- 7.- Propiedad asociativa del producto:
- 8.- Propiedades generales:
- 1.- Ley asociativa de la suma de vectores:
- Aplicaciones de vectores
- Veamos ahora algunos ejemplos que
muestran la utilidad del manejo de
vectores para representar cantidades
que deben manejarse por separado.
- Veamos ahora algunos ejemplos que
muestran la utilidad del manejo de
vectores para representar cantidades
que deben manejarse por separado.
- Producto punto
- Sean u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1,
v2, · · · , vn > dos vectores cualquiera
en Rn. El producto Punto, o producto
escalar, de u y v se define como
- Sean u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1,
v2, · · · , vn > dos vectores cualquiera
en Rn. El producto Punto, o producto
escalar, de u y v se define como
- Ortogonalidad
- Dos vectores u y y, se dice que
son vectores ortogonales, si
- Dos vectores u y y, se dice que
son vectores ortogonales, si
- Longitud o norma
- La norma de un
vector u se define
como
- La norma de un
vector u se define
como
- Distancia entre vectores
- La distancia euclidiana
entre los vectores u y
v, se define como
- La distancia euclidiana
entre los vectores u y
v, se define como
- Vector unitario
- Un vector u se dice
vector unitario, o
simplemente unitario, si
- Un vector u se dice
vector unitario, o
simplemente unitario, si
- Angulo entre
vectores
- El ángulo entre vectores u y v,
se define como el único
número θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple
- El ángulo entre vectores u y v,
se define como el único
número θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple
- Proyección ortogonal
- Sean u y v dos vectores en
Rn, ninguno de los dos el
vector cero, La proyección
ortogonal de u sobre v se
define como el vector
- Sean u y v dos vectores en
Rn, ninguno de los dos el
vector cero, La proyección
ortogonal de u sobre v se
define como el vector
- Componente
vectorial
- La componente vectorial de u
ortogonal a v se define como el vector
- La componente vectorial de u
ortogonal a v se define como el vector
- Propiedades del
Producto Punto
- Simetría:
- Adidtividad:
- Homogeneidad:
- Positividad:
- Simetría:
- Desigualdad de
Cauchy-Schwarz
- Para cualquiera dos vectores
u y v en Rn se cumple
- Para cualquiera dos vectores
u y v en Rn se cumple
- Desigualdad del
Triángulo
- Para cualquiera dos
vectores u y v en
Rn se cumple
- Para cualquiera dos
vectores u y v en
Rn se cumple
- Teorema de
Pitágoras
- Los vectores u y v
son ortogonales si
y sólo si se cumple
- Los vectores u y v
son ortogonales si
y sólo si se cumple
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