Ecucaciones Diferenciales

Que son?
1. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables.
  1. Metodos de solucion
    1. Soluciones analiticas
      1. Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos permiten obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.
        MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
        Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuación.
        MÉTODO DE IGUALACIÓN
        Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego igualar las ecuaciones obtenidas
        MÉTODO DE REDUCCIÓN:
        consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario
    2. soluciones numericas
      1. Pretenden hacer una tabla de valores para la funcion incognita y solucion al problema. Estos metodos se aplican a problemas con valores iniciales y producen respuestas del tipo
        Metodo de Euler
        resolver la ecuación diferencial de primer orden
        dxdt=f(t,x)
        Método de Runge-Kutta
        Una ecuación diferencial de primer orden
        dxdt=f(t,x) k1=h⋅f(t,x)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2)k4=h⋅f(t+h,x+k3) x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4)
        Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden
        dxdt=f(t,x,y) dydt=g(t,x,y) k1=h⋅f(t,x,y)k2=h⋅f(t+12h,x+12k1,y+12l1,)k3=h⋅f(t+12h,x+12k2,y+12l2)k4=h⋅f(t+h,x+k3,y+l3) l1=h⋅g(t,x,y)l2=h⋅g(t+12h,x+12k1,y+12l1)l3=h⋅g(t+12h,x+12k2,y+12l2)l4=h⋅g(t+h,x+k3,y+l3) x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) y(t+h)=y(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
        Una ecuación difrencial de segundo orden
        d2xdt2=f(t,x,v) con las condiciones iniciales x(t0)=x0 (dxdt)t0=v0
        Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
        dxdt=v dvdt=f(t,x,v) k1=hvk2=h(v+12l1)k3=h(v+12l2)k4=h(v+l3) l1=h⋅f(t,x,v)l2=h⋅f(t+12h,x+12k1,v+12l1)l3=h⋅f(t+12h,x+12k2,v+12l2)l4=h⋅f(t+h,x+k3,v+l3) x(t+h)=x(t)+16(k1+2k2+2k3+k4) v(t+h)=v(t)+16(l1+2l2+2l3+l4)
Clasificacion
1. parciales
  1. lineales
  2. no lineales
2. ordinarias
  1. no linelaes
  2. lineales
Aplicaciones
1. Aplicaciones a los circuitos eléctricos
  1. La ley de Kirchhoff
2. Aplicaciones a la mecánica:
  1. Las leyes del movimiento de Newton.
3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.
4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
5. La deflexión de vigas.
Historia
1. Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de fluxiones, que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales.
2. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
3. Euler(1 707 –1 783), Clairaut(1713 –1765), D’Alembert(1 717 –1 783), Daniel Bernoulli(1 700 –1 782), Lagrange(1 736 –1 813) y Laplace(1 749 –1 827). Estudiaron algunos tipos de ecuaciones de orden superior y se elaboraron los cimientos para una teoría geométrica de las ecuaciones en derivadas parciales.
4. Alexis Claude Clairaut(1713 – 1765) observó que las derivadas parciales de segundo orden cruzadas de una función son iguales y utilizó este hecho en el familiar criterio de reconocimiento de las ecuaciones diferenciales exactas.
5. Daniel Bernoulli estudia en 1 724 valores de n para los que la Ecuación de Riccati es integrable por separación de variables.
6. Jacobi y Abel trabajaron sobre funciones elípticas
7. Fourier desarrolló de forma sistemática el método de separación de variables
8. David Hilbert (1 866 –1 943)Hizo un tratamiento de las formas cuadráticas infinitas, probando que toda forma cuadrática acotada y con continuidad completa puede transformarse mediante una transformación ortogonal única. Aplicó estas formas cuadráticas a las ecuaciones integrales.
9. La teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales fue creada simultáneamente por Poincaré (1 854 –1 912) y Liapunov(1 857 –1 918

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