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Description
Mind Map by Laura Isabella Moreno Herrera, updated more than 1 year ago
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Created by Laura Isabella Moreno Herrera
over 2 years ago
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Definición y propiedades de los espacios vectoriales
- Definición
- Es una estructura
algebraica creada a partir
de un conjunto no vacío
- Contiene dos
operaciones
- A partir de una
operación interna
(llamada suma, definida
para los elementos del
conjunto)
- Una operación externa
(llamada producto por un
escalar) definida entre
dicho conjunto y un
cuerpo matematico
- A partir de una
operación interna
(llamada suma, definida
para los elementos del
conjunto)
- Contiene dos
operaciones
- Es una estructura
algebraica creada a partir
de un conjunto no vacío
- Propiedades/
axiomas de un
espacio vectorial
- Axiomas de la
Multiplicación por Escalar
- (cerradura bajo la
multiplicación por un escalar)
- Si x ∈ V y α es un escalar,
entonces αx ∈ V
- Si x ∈ V y α es un escalar,
entonces αx ∈ V
- (primera ley
distributiva)
- Si x y y están en V y α es un
escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
- Si x y y están en V y α es un
escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
- (segunda ley
distributiva)
- Si x ∈ V y α y β son escalares,
entonces (α + β) x = αx + βx
- Si x ∈ V y α y β son escalares,
entonces (α + β) x = αx + βx
- (ley asociativa de
la multiplicación
por escalares)
- Si x ∈ V y α y β son
escalares, entonces
α(βx) = (αβ)x
- Si x ∈ V y α y β son
escalares, entonces
α(βx) = (αβ)x
- (cerradura bajo la
multiplicación por un escalar)
- Axiomas de la suma
- Ley Clausurativa
(cerradura suma)
- Si x ∈ V y y ∈ V,
entonces x + y ∈ V
- Si x ∈ V y y ∈ V,
entonces x + y ∈ V
- (ley asociativa de la
suma de vectores)
- Para todo x, y y z en V,
(x + y) + z = x + (y + z)
- Para todo x, y y z en V,
(x + y) + z = x + (y + z)
- (el 0 se llama vector
cero o idéntico
aditivo)
- Existe un vector 0 ∈ V tal que
para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x
- Existe un vector 0 ∈ V tal que
para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x
- (–x se llama inverso
aditivo de x)
- Si x ∈ V, existe un vector –x
en ∈ V tal que x + (–x) = 0
- Si x ∈ V, existe un vector –x
en ∈ V tal que x + (–x) = 0
- (ley conmutativa de
la suma de vectores)
- Si x y y están en V,
entonces x + y = y + x
- Si x y y están en V,
entonces x + y = y + x
- Ley Clausurativa
(cerradura suma)
- Axiomas de la
Multiplicación por Escalar
- Espacio vectorial trivial
- Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio
vectorial, por consiguiente V se define como un espacio
vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.
- Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio
vectorial, por consiguiente V se define como un espacio
vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.
- Conceptualización
- Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones
de suma vectorial y multiplicación por escalar y, algunas
propiedades que cumplen dichas operaciones, como la
clausurativa, conmutativa y otras
- Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones
de suma vectorial y multiplicación por escalar y, algunas
propiedades que cumplen dichas operaciones, como la
clausurativa, conmutativa y otras
- Combinaciones
lineales
- Por definición los elementos de los espacios
vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que
un vector se puede escribir como combinación lineal
de otros vectores en un espacio vectorial dado.
- Por definición los elementos de los espacios
vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que
un vector se puede escribir como combinación lineal
de otros vectores en un espacio vectorial dado.
- Notación
- Dado un espacio
vectorial V, sobre un
cuerpo K se distinguen:
- Los elementos de K como:
a, b, c, se llaman escalares
- Los elementos de V se
llaman vectores (u, v, w)
- Los elementos de K como:
a, b, c, se llaman escalares
- Dado un espacio
vectorial V, sobre un
cuerpo K se distinguen:
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