ALGEBRA LINEAL

Omar  Zipaquira
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Omar  Zipaquira
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ALGEBRA LINEAL, ESPACIOS VECTORIALES

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ALGEBRA LINEAL
1 ESPACIO VECTORIAL
1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vacıo y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1.1.1 La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
1.1.1.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
1.1.1.1.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
1.1.1.1.2 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V . 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V . 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V . 4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0. 5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V . 6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V .
1.1.1.1.2.1 El Espacio R n El conjunto R n con la suma y el producto escalar definidos, para ~v = (v1, . . . , vn), w~ = (w1, . . . ,wn) en R n y r ∈ R, seg´un: ~v + w~ = (v1, . . . , vn) + (w1, . . . ,wn) = (v1 + w1, . . . , vn + wn), y r · ~v = (rv1, . . . ,rvn), forma un espacio vectorial.
1.1.1.1.2.2 Sea Pn[x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una variable x, con coeficientes reales. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn[x] es un polinomio de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n , con a0, . . . , an reales. Si definimos la suma de polinomios p(x) = a0 + a1x + · · · + anx n , q(x) = b0 + b1x + · · · + bnx n ∈ Pn[x] y su producto por escalares como p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x 2 + · · · + (an + bn)x n y r · p(x) = ra0 + ra1x + ra2x 2 + · · · + ranx n , tenemos un espacio vectorial.
1.1.1.1.2.3 Sea F(R) el conjunto de funciones continuas f : R → R. Definiendo la suma de dos funciones f , g ∈ F(R) como la funci´on f + g cuyo valor en x ∈ R est´a dado por (f + g)(x) = f (x) + g(x), y el producto de una funci´on f por un escalar r ∈ R como la funci´on cuyo valor en x ∈ R est´a dado por (r f )(x) = r(f (x)), tenemos un espacio vectorial.
1.1.1.1.3 Dado cualquier n ∈ N el conjunto R n = {(x1, ...xn) : x1, ..., xn ∈ R} dotado de las operaciones suma y producto por escalares usuales. • El conjunto Mm×n(R) de las matrices con coeficientes reales de orden m × n dotados de la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto P(R) de los polinomios de variable real con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto Pn(R) de los polinomios de grado a lo sumo n con coeficientes reales con la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto C o (R) de las funciones continuas en R con la suma y el producto por escalares usuales. • El conjunto C o ([a, b]) de las funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b] con la suma y el producto por escalares usuales.
1.2 VECTORIAL
1.2.1 Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.
1.3 ESPACIO
1.3.1 Del latín spatium, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.
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