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Números complejos .

Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo.

el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R

Operaciones fundamentales con números complejos.

=Adicción =

Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

=Potenciación=

La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

=Forma Binomica=

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + b

Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

=Multiplicación=

Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

=Sustracción=

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

=División con números complejos=

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

=Multiplicación con números complejos=

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Forma polar y exponencial de un número complejo

Forma Polar

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

=Potencias de la unidad imaginaria=

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras: