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Vectores en R2y R3: nocón de distancia, definicion algebraica de vector

definición geométrica de un vector :se llama vector el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes aunsegmento de recta dado

Definición algebraica de un vector: Un vector en el plano es una pareja ordenada de números reales ( a , b ). Los números a , b son llamados componentes del vector ( a , b ), el vector cero es (0 , 0). . c

Por lo tanto R 2 = { ( a , b ) : a , b ∈ R } . Los elementos de R 2 puntos. Decimos también que dos vectores del plano son iguales si y sólo si sus componentes son → − → − iguales; U = ( a , b ) y V = ( c , d ) si a = c y b = d .

son vectores, los cuales se representan en el plano cartesiano mediante → − → − Definimos la norma o magnitud de un vector U = ( a , b ) y la denotamos por || U || como → − √ 2 → − || U || = a + b 2 . Geométricamente || U || es la distancia que hay del punto (0 , 0) al punto ( a , b ).

Definición 1.1. Se define la dirección de un vector U = ( a , b ) como el a ángulo θ , medido en radianes que forma el vector con el lado positivo del eje x. Escogemos θ ∈ [0 , 2 π ) si a b 0 , tan θ = . b

Nota. Como tan θ es una función periódica con periodo π , entonces si b 0 siempre existen → − dos valores en [0 , 2 π ), por lo tanto es necesario determinar el cuadrante del vector U .

Mesa, Fernando, et al. Introducción al álgebra lineal, Ecoe Ediciones, 2012. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/unadsp/detail.action?docID=3200976.

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Noción de distancia

Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:

a2=b2 +c2

Donde el triangulo en consideración es rectangulo con a como hipotenusa b y c los catetos

naturalmente , a,b,c € R

EJEMPLO

Considere el triangulo rectángulo, cuyos lados son los que muestran .¿cual es el valor de la hipotenusa?¡

a2=62+82

a2=100

a=±100

Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir, a  10 unidades

llamemoslos p=(x1, y1) y Q = (x2, y2) . nuestro interes es encontrar la distancia entre ellos .

pensemos ahora en dos puntos cualesquiera del l plano

Para poder emplear el teorema de Pitágoras, debemos hacer una construcción geométrica que nos permite obtener un triángulo rectángulo. El procedimiento es el siguiente.

Trace una paralela al eje y que pase por el punto Q.

Trace una paralela al eje x que pase por el punto p.

Al punto de intersección de las anteriores paralelas. Llámelos R.

Si consideramos el triángulo PQR, este es rectángulo por lo tanto el teorema de Pitágoras

[dP,Q]2=[dP,R]2[dR,Q]2=(1)

Ahora las coordenadas de R SON(x2,- x1)

((x2,y1)por tanto

d( P, R)= ( x2,- x1)

d(R,Q)=( y2, - y1)

Sustituyendo estos valores en (1)

[dP,Q]2=x2,- x12+y2, - y1)2

tomando raíz cuadrada de ambos lados

d( P, R)=x2,- x12+y2, - y1)2 (2)

la anterior relación nos permite dado dos puntos del plano encontrar la distancia entre ellos teniendo como referente tan solo coordenadas

Vectores en R3

vectores en R2

Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q , − − → denotado por PQ , es el segmento de recta que va de P a Q

Los segmentos de rectas dirigidos PQ y QP son distintos, puesto que tienen direcciones

Definimos el conjunto R 3 3 como: R 3 = { ( a , b , c ) : a , b , c ∈ R } , → − los elementos de este conjunto se llaman vectores y los denotamos por U = ( a , b , c ). Los elementos ( a , b , c ) ∈ R 3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional, definido con tres rectas mutuamente perpendiculares.

Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares.