Fluxograma
Geometria Fractal
Conteúdo do fluxograma
Geometría Fractal
¿Qué es?
Rama muy joven de las matemáticas que estudia los fractales, los cuales se pueden aplicar a modelos poblacionales, predicciones meteorológicas, visualizacion de fenómenos biologicos, entre otros.
Fractal
¿Qué es?
Características
Auto similitud
Dimensión
Euclídea
Topológica
Topológica
Iteraciones
Fractal Lineal
Fractal No Lineal
Conjunto de Cantor
Curva de Von Koch
Triangulo de Sierpinski
Conjunto de Julia
Conjunto de Mandelbrot
-Designados caóticos
-Formados por números complejos
-Son diseñados en computadora y creados por el humano
-Imposibles realizarlas a mano ya que son infinitas.
-Estudiada con la Dinámica Holomorfa.
-Es un conjunto de puntos periódicos repulsivos.
-Se describe mediante la función f(z)=z^2+c , siendo c y z un numero complejo
-Su Iteración es
-Constituido por valores Z invariantes a la Iteración.
Conformado por 2 conjuntos, Conjunto E (Escape) y P(Prisión), y su frontera.
Se representa en un plano bidimensional donde dependiendo de C su forma cambiará
-También considerado como conjunto M es el objeto geométrico mas complicado creado por el hombre.
-Igual que el conjunto de Julia su frontera es un fractal.
-No tiene auto similitud estricta a diferentes escalas pero su figura inicial se vuelve a repetir a diferentes escalas.
Sus Propiedades son: no vacío; invariable hacia adelante y hacia atrás; acotado y cerrado; no tiene puntos aislados, es decir, es perfecto.
Conjunto original
Zoom
Zoom
Zoom
Relación con el conjunto de Julia.
El conjunto de Mandelbrot tiene la siguiente Iteración:
La iteración del conjunto de Julia es una función mientras que en el de Mandelbrot son infinitas funciones
Debido a que el conjunto M tiene infinitas iteraciones, el conjunto de Julia es un subconjunto de M, por lo tanto todos los valores de C del conjunto de Julia estarán conexos dentro del conjunto M
Es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descritas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional.
está formada por partes más pequeñas que se parecen. Esta similitud puede ser geométricamente estricta o estadística.
Numero de coordenadas requeridas para especificar un objeto.
Mide la habilidad de cubrir un objeto con conjuntos abiertos de radio pequeño.
DT= -1, El vacío DT=0, Un punto DT=1, Un segmento DT=2, Un cuadrado; DT=3, Un cubo.
Un contenido lineal se calcula sumando pasos r elevaos al exponente uno, que es la dimensión lineal recta. Definida con:
Donde:
N: Numero de copias de sí mismo. D: Es la dimensión de Hausdorff r: Es la razón de similitud.
En un sentido geométrico es un número que sirva para cuantificar el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico o de un objeto natural.
Consiste en repetir n veces la misma figura o patrón. En los fractales lo que se itera son las fórmulas, ecuaciones o el patrón generador dependiendo del fractal
Teoremas
Teorema de Collage: Dado un conjunto de contracciones del plano w1 a wn y un conjunto P0, se establece una sucesión de conjuntos la cual converge en un conjunto límite P, para su estudio es necesario tener conocimiento sobre teoremas de espacio métrico
Iteración conjunto M
Se construyen con un simple cambio de escala de figuras sencillas como líneas, triángulos, etc. y sus mezclas
Formado por una recta de intervalo [0,1] la cual se divide en 3 segmentos iguales eliminando el segmento central, quedando intervalos 3 intervalos, 2 cerrados a los extremos y el central un intervalo abierto [0,1/3](1/3,2/3)[2/3,1], este proceso se hace sucesivamente para cada intervalo cerrado.
Su representación seria
Su dimensión seria D=log N /log r =log 2 /log 3=0.6309, pero r y N pueden variar y tener diferentes dimensiónes
-Se parte de un cuadrado
-Se hallan los puntos medios de los lados y se forman cuatro cuadrados iguales. Unimos los puntos medios de estos -cuadrados mediante tres segmentos
-Se repite el proceso en cada uno de los cuadrados anteriores uniendo además mediante segmentos adicionales las terminaciones de las líneas poligonales en cada cuadrado
-Se repite este proceso indefinidamente.
- Se parte de un triángulo equilátero
-Se hallan los puntos medios de los lados y se unen entre sí formando un nuevo triángulo invertido que ser recorta de la figura.
-Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos que aparecen en el punto anterior
-Seguimos indefinidamente este proceso
