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Lógica Matemática

Proposiciones

Proposiciones abiertas

proposiciones simples

proposiciones compuestas

carecen de conectores lógicos

cuentan con más de un conector lógico

si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p ᶺ q es falsa.

es una expresión que tiene significado, pero contiene por lo menos un término variable o indeterminado

El conjunto que reemplaza a la variable lo llamaremos el Dominio

Proposición Conjuntiva

une dos proposiciones por medio de la conectiva conjunción (ᶺ),

p ᶺ q,

la preposición es verdadera si ambas componentes son verdaderas

Proposición Disyuntiva

esta unida dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (V ),

p V q. p V q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas

si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p V q es verdadera.

Álgebra de proposiciones

1) Leyes del tercio excluido

2) Ley de involución o doble negación ~ ( ~ p ) ≡ p

p ^ ~ p ≡ F

p v ~ p ≡ V

3) Ley de idempotenciap ^ p ≡ p

4) Leyes conmutativas p ^ q ≡ q ^ p p ^ q ≡ q ^ p

5) Leyes asociativas (p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r) (p v q) v r ≡ p v (q v r)

6) Leyes distributivas

7) Leyes de De Morgan

~ ( p ^ q ) ≡ ~ p v ~ q

9) Leyes bicondicionales ? → ? ≡ ∼ ? ∨ ?

10) Leyes de absorción

Cuantificadores

son símbolos que se emplean en los mencionados contextos para poder señalar cuantos o los tipos de elementos que integran un conjunto dado

los más empleados se cuentan: cuantificador universal . ∀

Métodos de demostración

Demostración directa la suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Por lo tanto, x+y tiene un factor de 2 y, por definición, es par

Demostración por Principio de inducción matemática• Para n = 1, 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, y 3 es impar. Luego P(1) es verdadero.

Demostración por contraposición (p=> q) => (no=>p)

cuantificador existencial

10) Leyes de absorción p ^ (p v q) ≡ p p v (p ^ q) ≡ p p ^ F ≡ F p v V ≡ V

Demostración por reducción al absurdo b 2 = a2 /2 = 2c2 con a y b primos entre sí

Demostración constructiva o por construcción

Demostración por exhaustividad

Demostración probabilística

Demostración por combinatoria Demostración no constructiva