Algebra Mapa

•Denotado como conjuntos no vacios V de objetos, definido por dos tipos de operaciones: Suma y producto.

Tipos de Espacios.

Campos y propiedades

Espacios vectoriales R.

Espacios vectoriales

•Suma:

•Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)

•Conmutativa: v+u=u+v.

•Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v.

•Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

Propiedades del producto de un vector por un escalar:

Asociativa: β (α v) = ( β α ) v

• Distributivas:

Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v

Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

Este espacio esta formado por los vectores de R^n componentes (x1, . . .,xn), en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Subespacio vectorial

Espacios normados

Espacios vectoriales topológicos

Espacios de Banach

Espacios prehilbertianos

Espacios de Hilbert

Propiedad 1

0u=0V0u=0V

Propiedad 2

α0V=0Vα0V=0V

Propiedad 3

(–α)u=–(αu)(–α)u=–(αu)

En particular, para α=1α=1 :(–1)u=–u(–1)u=–u

Propiedad 4

αu=0V⇒α=0∨u=0Vαu=0V⇒α=0∨u=0V

Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:

Si α=0α=0 , se cumple la proposición.

Si α≠0α≠0 , podemos multiplicar por 1α1α :

αu=0V⇒1ααu=1α0V⇒u=0V

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2 , y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 K es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

Descripción de los subespacios de Rn .

Forma implícita: Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

Forma paramétrica: Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

La recta x=y es un subespacio de R^2

El plano XY es un subespacio de R^3

En el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 }, el conjunto de los polinomios de grado ≤1 forma un subespacio.

En M2 = { matrices 2x2 }, el conjunto de las matrices simétricas (A B) es un subespacio. Contiene a la matriz nula, y es cerrado para las operaciones:

Geométricamente, los subespacios vectoriales de R^2 y R^3 son rectas, planos, y sólo uno de ellos es un punto, el { K }.

En todo espacio vectorial existen el subespacio cero, formado solamente por el vector { K 0 }, y el subespacio total, formado por todos los vectores del espacio.