Mate

Fractales Matemáticos

Un fractal es conjunto matemático que tiene características como la autosimilitud y dimensión fractal, se encuentran a cualquier escala y su dimensión no es entera. Actualmente su estudio y aplicación ha sido fundamental en distintas áreas como la medicina.

El concepto fue propuesto por el matemático Mandelbrot en 1975.

Ejemplos Clásicos

Conjunto de Cantor

La construcción del conjunto de Cantor fue realizado mediante remoción de partes de una figura geométrica C=[0,1]

Triángulo de Sierpinski

Se parte de un triángulo equilátero de lado 1 (se puede utilizar para cualquier lado) al que llama S0.

Curva de Kosh

Fue una de las primeras curvas fractales en ser descrita y se construye de diferentes formas.

Curva del dragón

A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles.

Nociones de

Espacios Métricos

Conjunto no vacío X de objetos que se denominan puntos, dotados de una función:

d: X x X -------> R

(x,y) ------------> d(x,y)

Subespacio métrico: Dado un espacio métrico cualquiera (X, d), él automáticamente determina una gran cantidad de espacios métricos, ya que cada S € X

Noción de Convergencia

Sucesión en X es una función s : N --->X

Sucesiones de Cauchy

Sea (X, d) un espacio métrico, (sn)n, una sucesión en X. Diremos que (sn)n es de Cauchy si: Ve > 0, IN € N tal que m,n > N implica d(Sm, Sn) < €.

Espacio Métrico completo: Un espacio métrico (X, d) es completo, si toda sucesión de Cauchy en X converge en X.

Punto Adherente: Sea (X, d) un espacio métrico, S ⊆ X y x ∈ X. X es un punto de adherencia de S (o punto adherente a S) si existe una sucesión (sn)n en S tal que (sn)n → x.

Adherencia de un conjunto: El conjunto de todos los puntos de adherencia de un conjunto S se llama la adherencia o clausura de S.

Conjuntos

Abiertos: Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊆ X. Se dice que S es abierto si para todo elemento s ∈ S,

Compactado: Sean (X, d) un espacio métrico y S ⊆ X. S es compacto, si toda sucesión en S admite una subsucesión convergente en S.

Acotado: Sean (X, d) un espacio métrico y S ⊆ X. S es acotado si existen a ∈ X y r ∈ R+ tales que S ⊆ Bd (a; r).

Totalmente Acotado: S es totalmente acotado si para todo e > 0, existe una E-red que recubre a S.

Teorema del punto Fijo

El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff

Sea (X, d) un espacio métrico, diremos que H(X) es la colección de todos los subconjuntos compactos no vacíos de X. H(X) hiperespacio de X.

Distancia de punto a compacto: Sean (X, d) espacio métrico, a ∈ X y K ∈ H(X). Se define d̂(a,K) por:

Distancia de compacto a compacto. Sean (X, d) espacio métrico y A, B ∈ H(X). Se define d (A; B) como

Sean A,B ∈ H(X); se define h (A,B) como:

Métrica de Hausdorff: Llamaremos al espacio métrico (H(X) ,h) el espacio donde viven los fractales.

Sean (M,d) un espacio métrico completo y f : M → M una contracción. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe un único p ∈ M tal que f(p) = p.

Además, para cualquier x ∈ M se tiene que:

Completez del espacio H(X)

Definición 1: Sean (X,d) espacio métrico, A ∈ H(X) y ε > 0. Se define la nube de centro A y radio ε, denotada N (A; ε) como

Teorema 1: Sea (X, d) un espacio métrico. (H(X) ,h) es completo si y sólo si (X, d) es completo. Además, si (An)n es una sucesión de Cauchy en H(X) y

SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES

Sistema Iterado de Funciones (SIF), atractor de un SIF

Definición 1: (SIF). Un Sistema Iterado de Funciones (SIF), es una estructura de la forma {X; f1, fa, f3,..., fN}, donde X es un espacio métrico completo y cada f¡: X →X,i=1,2,...,N, es una contracción en X.

Teorema 1: Dado un SIF {X; fi, fa,..., fn}, se define

Un conjunto es auto semejante (o autosimilar) si es el atractor de un SIF.

entonces existe un único A ∈ H(X) tal que :

Propiedades

SIF con condensación

Definición 1: Sean (X, d) espacio métrico y C ∈ H(X). Definimos w0 : H(X) → H(X) por w0(K) := C, ∀K ∈ H(X). w0: es una transformación de condensación; C: el conjunto de condensación asociado.

Definición 2: Sea {X; w1, w2, . . . , wn} un SIF y sea w0 : H(X) → H(X) una transformación de condensación. Entonces {X; w0, w1, w2, . . . , wn} se llama un SIF con condensación.

Auto similitud

La función de direccionamiento

La estructura de un objeto está compuesta por copias del mismo, en diferente escala y posición.

El espacio de códigos asociados a un SIF: Dado un SIF {X; f1, f2, . . . , fN}, se define su espacio de códigos asociado como el espacio métrico ΣN, donde Σ = {1, 2, . . . , N}.

Función de direccionamiento:Sean {X;w1, . . . , wn} un SIF, ΣN su espacio de códigos asociado y ϕ : ΣN → A la función construida en el teorema anterior.

Dimensión fractal

Coincide con la dimensión topología en el caso de segmentos, de un cuadrado, de un cubo pero para otros objetos como para la curva de Koch no, esto al comprobarse que su dimensión topología es 1 mientras que su dimensión fractal 1.261.

Definición 1: Un conjunto A ⊂ Rn tiene dimensión topológica 0 si para cada punto de A podemos encontrar un entorno de Rn tan pequeño como deseemos, cuya frontera no intercepte el conjunto A en ningún punto

n= factor de ampliación

D= dimensión

N= número de copias

Dimensión Extraña

Su dimensión no es entera (0,1,2,3), sino que generalmente es una fracción.

Distancia Infinita

Los fractales tienen distancia infinita, aunque encierran una área finita, al realizar un acercamiento a una parte de la figura se observa una estructura similar a la original pero más compleja.

Teorema del Collage

Establece una convergencia a un conjunto límite P

Dimensión topológica

Se origina con el objetivo de acercarse a las formas reales de los objetos y fenómenos de la naturaleza, haciendo énfasis en su estructura básica, y ésta aunque esté fragmentada o sea irregular se repite a diferentes escalas.

Geometría Fractal