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Método de Cramer

¿Cómo se resuelve un SEL por Cramer?

¿Cuáles son las restricciones para utilizar el método?

¿Cómo se aplica en la ingeniería que cursa?

Regla de Cramer: Nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales (SEL) compatibles determinados, es decir, con una única solución.

Regla de Sarrus:Es un método que permite calcular rápidamente el determinante de una matriz cuadrada con dimensión de 3×3 o mayor.

Determinante: Es una herramienta matemática, consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

A(X)=b

Donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna con las incógnitas y b es la matriz columna con los términos independientes.

La incógnita Xi del sistema A(X)=b es

Xi=|Ai|/|A|

Donde Ai es la matriz A, pero cambiando la columna i de A por la columna de términos independientes, b.

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el Método de Cramer.

1. Tener en cuenta las siguientes restricciones:

1. El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas)-

2. la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante distinto de 0).

3x + 2y + z = 2

-2x + y - 7z = 0

3x – y + 8z = 2

2. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema por la regla de Sarrus.

3⋅1⋅8+2⋅(−7)⋅3+1⋅(−2)⋅(−1)−3⋅1⋅1−(−1)⋅(−7)⋅3−8⋅(−2)⋅2 = −8

Det A= -8

3. Para calcular la incógnita asociada a la columna n, sustituimos la columna n de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes.

4. Posteriormente calculamos los determinantes y sustituimos en la siguiente formula:

Xi=|Ai|/|A|

5. Obteniendo:

X = 7/2

Y = (-7)/2

Z = (-3)/2

Dentro de la ingeniería civil podemos aplicar el método de Cramer para poder resolver problemas de SEL como:

Se aplica en la elaboración de estructuras.

Calculo de reacciones en marcos isostáticos.

Calcular el tiempo que se demoran diferentes empresas en elaborar una construcción.

El método de cramer es una buena herramienta para calcular sistemas de ecuaciones lineales de 3x3, pero puede volverse más complejo si se aplica en una matriz de mayor tamaño, por eso no se recomienda usar en sistemas de ecuaciones muy grandes.

Referencias:

Gabriel Cramer y la regla de Cramer (resolución de sistemas de ecuaciones). (2016, 5 octubre). Matesfacil. https://www.matesfacil.com/BAC/ejercicios-resueltos-CRAMER.html#:%7E:text=La%20regla%20de%20Cramer%20nos,(determinante%20distinto%20de%200).

Regla de Cramer. (s. f.). Descarte 3D. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/regla_de_cramer.htm

U.A.E.H. (Ed.). (2019). APLICACIÓN INGENIERÍA CIVIL [Libro electrónico]. http://ceca.uaeh.edu.mx/algebra_lineal/assets/civil.pdf