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Espacio vectorial:

Sea V un conjunto sobre el cual se definen dos operaciones, llamadas

suma y multiplicación por un escalar. Si u y v están en V, la suma de u y v se denota

mediante u v, y si c es un escalar, el múltiplo escalar de u por c se denota mediante

cu. Si los siguientes axiomas se cumplen para todos u, v y w en V y para todos los escalares

c y d, entonces V se llama espacio vectorial y sus elementos se llaman vectores.

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Sea B= v1, v2, . . . , vn una base para un espacio vectorial V. Sea v

un vector en V y escriba v c1v1 c2v2 p cnvn. Entonces c1, c2,..., cn se llaman

las coordenadas de v con respecto a B y el vector columna

se llama vector coordenado de v con respecto a B.

A)3u v4B 3u4B 3v4B

B

B)3cu4B c3u4B

Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal

. Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno

2. Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:

w1= v1

Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base:

Un subconjunto B de un espacio vectorial V es una base para V si

1. B genera a V y

2. B es linealmente independiente.

Si ei es la i-ésima columna de la matriz identidad de n n, entonces {e1, e2,..., en} es una

base para n

, llamada base estándar para n

.

INDEPENDENCIA LINEAL Y SUS COMBINACIONES:

Un conjunto de vectores {v1, v2,..., vk} en un espacio vectorial V es

linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,...,ck, al menos uno de los cuales no

es cero, tales que

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es linealmente

independiente.

espacio vectorial:

Un subconjunto W de un espacio vectorial V se llama subespacio de

V si W es en sí mismo un espacio vectorial con los mismos escalares, suma y multiplicación

por un escalar que V.

Sea V un espacio vectorial y sea W un susup bconjunto no vacío de V. Entonces W es un

subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

a. Si u y v están en W, entonces u v está en W.

b. Si u está en W y c es un escalar, entonces cu está en W.

PROPIEDADES DEL SUB ESPACIO VECTORIAL:

1). El vector cero de V está en W.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

W, la suma u + v está en W .

3). W es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

u en W y cada escalar c, el vector cu está en W.