LGR

Técnicas del lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

El problema de sistema de control

Los polos de una función de transferencia de lazo abierto se encuentra facílmente por lo general se conocen por inspección y no cambian con modificaciones en la ganancia del sistema y los de lazo cerrado es totalmente lo opuesto.

Ejemplo

Representación Vectorial de números complejos

Cualquier numero complejo descrito de coordenadas cartesianas se puede representar gráficamente por medios de vectores.

Se puede decir que un numero complejo puede ser representado como vector desde 0 de la función de punto s.

Donde la longitud de un 0 es la magnitud de vector trazado desde 0 con punto de ángulo de polo es guía media

Ejemplo

(s+1/(s+2)

Simetría

Segmentos del eje real

Números de ramas

Cada Lazo Cerrado se mueve cuando caria la ganancoia

No existen polos complejos en lazos cerrados en pares jugados el polinomio resultante

Hagamos el uso de la propiedad de ángulos de los puntos sobre el lugar geométrico

Una función también puede tener polos y ceros infinitos una función también puede tener polos y ceros finitos.

Si la función se aproximó al infinito cuando S se aproxima al infinito entonces la función tiene un polo en el infinito.

Si la función se aproxima a cero cuando S se aproxima al infinito entonces la función tiene un cero en el infinito.

Toda función de ese tiene un número igual de polos y ceros si incluimos los polos y ceros finitos.

Las reglas estudiadas en la sección inmediata anterior nos permiten trazar rápidamente un lugar geométrico de las raíces.

Es posible deducir una imagen mejor del lugar geométrico de las raíces sí encontramos los ángulos de salida y llegada desde los polos y ceros

Puntos de puntos sillas entrada y salida en el eje real

El lugar geométrico se traza usando las primeras cuatro reglas

Puntos de inicio y final

El lugar geométrico de las raíces inicia en los polos finitos e infinitos G(S) H(S) y termina en los ceros finitos e infinitos de G(S) H(S)

Cruces con el eje jw

El cruce con el eje jw es un punto sobre el lugar geométrico de las raíces que separa la operación estable del sistema respecto a la operación inestable

El valor de doble u en el cruce del eje produce la frecuencia de oscilación mientras que la ganancia en el cruce con el eje jw produce la máxima ganancia positiva para la estabilidad del sistema

Para hallar el cruce con el eje jw podemos usar el Routh-Hurwitz

Ángulos de salida y de llegada

El lugar geométrico de las raíces inicia en los polos en lazo abierto y termina en los ceros en lazo abierto

Para trazar el lugar geométrico de las raíces con más precisión debemos calcular el ángulo de salida del lugar geométrico de las raíces a partir de los polos complejos y el ángulo de llegada a los ceros complejos.

Graficación y calibración del lugar geométrico de las raíces

Podemos localizar con precisión los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces, así como hallar la ganancia asociada de los mismos podríamos necesitar saber las coordenadas exactas del lugar geométrico de las raíces cuando cruza la línea radial que presenta 20% de sobrepeso.

Reglas adicionales para refinar el trazado

Puntos silla de salida y entrada del eje real el lugar geométrico de las raíces sale del eje real en un punto donde la ganancia es máxima y entra en el eje real en un punto donde la ganancia es mínima

Cálculo de cruces con LG J doble u el lugar geométrico de las raíces Cruz en el eje jw en el punto donde G(S)H(S) es igual a (2k + 1) 180° se puede usar el criterio de Routh-Hurwitz

Ángulos de salida y llegada el lugar geométrico de las raíces sale de los polos complejos en lazo cerrado y llega en ceros complejos enlazo abierto a ángulos que se puede calcular.